名师教学设计《方程的根与函数的零点》完整教学教案.docx
教学设计课题名称：方程的根与函数的零点学科年级：高中数学教材版本:一、教学内容分析本章在粗略估计零点存在域及零点个数上在导数大题中有很深的应用二、教学目标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2.掌握零点存在的判定定理。三、教学重难点教学重点：零点的概念及零点存在的判定定理教学难点：零点存在的判定定理的理解四、学习者特征分析学生对二次函数基本知识的掌握很薄弱，因此从二次函数的相关习题补充练习开始，逐步加入单调性、指、对运算比较大小等知识，逐步应用零点存在性定理帮助学生掌握该性质的使用。12五、教学过程教师活动一、预习反馈1 .一元二次方程加+bx+c=O (川。)的解法：判别式=当40,方程有两根，为 X.2 =；当A0,方程有一根，为 X。=；当40,方程无实根。2 .方程加+Z;x+c=()(工()的根与二次函数y=ax2 +bx+c (a=0)的图象之间有什么关系二、自学与探究(一)自学提示整合教材知识，落实基本能力探究一：函数零点与方程的根的关系1 .方程x2-2x-3 = O 的解为,函数y = x22x 3的图象与X轴有 个交点，坐标为；2 .方程x2-2x+1=0 的解为,函数、=工2-2工+1的图象与X轴有 个交点，坐标为 ；3 .方程x2-2x + 3 = O 的解为,函数y = x? - 2x + 3的图象与X轴有 个交点，坐标为 O预设学生活动设计意图学生通过回顾自主填答练习 1 ： ( 1 )函数 y = %24x + 4的零点为;(2)函数 y = log? (*-1) - 2 的零点为 O小结：方程/(%) = 0有实数根O函数y = /(X)的图象与R轴有交点o函数y = /(x)有零点。回顾旧知让学生通过探究了解方程有实数根、函数图像与X轴有交点和函数有零点三者之间的联系和区别，以及相互间的切换。根据以上结论，可以得到：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a H 0)的根就是相应次函数y = ax1 + c = 0 (a工0)的图象与X轴交点的 O你能将结论进一步推广到函数y = /(x)吗4.零点的概念:反思：函数y = /(x)的零点、方程/(x) = 0的实数根、函数y = /(x)的图象与大轴交点的横坐标，三者有什么关系探究二：零点存在性定理1.作出尸/一4工+ 3的图象，求/(0),/(1),/(2)的值，观察人0)和八2)的符号y = /(X)的图象,讨论：函数/(X)满足v 0 ,那么函数/(X)在区间(a,h)内是否一定存在零点请举例说明。通过探究进一步理解如何使用零点存在定理，理解其应用的关键条件在区间自cj±零点，/(Z?)/(c)0;在区间c.d上零点，/(c)/(d)0.3.零点存在性定理的内容：(二)合作探讨例1求函数/(x) = lnx + 2x 6的零点的个数.变式：1.求函数/(x) = lnx + x-2的零点所在区间.2.求函数y = 2，-3的零点所在的大致区间.小结：函数零点的求法.代数法：求方程/) = 0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.(2)函数/(x)满足< 0，且在区间(a,坊内有零点，那么一定只有一个零点吗请举例说明。(3) 函数/(x)满足< 0 ,还需要满足什么条件，/(外就在区间(a,坊内一定只有一个实数根(三)探究提升精研高考题点，提升备考智能题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1 加工)=x2+7x+6 ；= 1 log2(x+3)；重点研习三类常见题型，来熟悉其实际运用反思与感悟求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程火x)=0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)，=/U)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.(3加工)=2厂】_3；+4%-12段)=一解(1)解方程«x)=x2+7x+6=(),得x= 1或x=-6,所以函数的零点是一1,-6.(2)解方程 yu)=llog2(x+3)=0,得x= -1,所以函数的零点是一1.(3)解方程五%)=2广|-3 = 0,log26,所以函数的零点是log26.元=5、3x2+4x-12(4)解万程 /(x)=0,=6,所以函数的零点为一6.反思与感悟 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程«¥)= 0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)，=/(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.1 .判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.2 .要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若图象在m，加上连续,且犬。)次)0,则兀0在3, b)上必有零点,若犬)贸力)>0,则於)在伍，b)上不一定没有零点.判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由 fix)=g(x)(x)=0,得 g(x)= /2(x),在同一直角坐标系下作出y= gtr)和J2 = (x)的图象,利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.变式训练1函数y=ll的零点是( )A.(l,0)D.不存在答案C解析 令y=x1=(),得x=l,故函数y=x1的零点为1.题型二判断函数零点所在区间例2已知函数人的二%3-x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()A.(3,4) B.(2,3) C.(l,2) D.(),l)答案C解析 V/0)=-l<0, /l)=-l<0,y(2)=5>0, /3)=23>0, y(4)=59>0.-1)负2)<0,此零点一定在(1,2)内.反思与感悟1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若4犬)图象在，句上连续,且犬)十功<0,则|的在3")上必有零点，若大)贸)(),则危)在3,份上不一定没有零点.变式训练2函数«v) = e'+jv2的零点所在的一个区间是()A.(2, -1)B.(-1,0)C.(),l)D.(l,2)答案C解析 -0)=析+ 0 2= 1 <0,/l) = e' + l-2=e-l>0, AX0)-Xl)<0,.於)在(0,1)内有零点.题型三判断函数零点的个数例3判断函数犬%)=111%+/ 3的零点的个数.解方法一函数对应的方程为In x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3f的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）.由图象知，函数y=3%2与y=n x的图象只有一个交点.从而方程In x+x2-3 = （）有一个根，即函数y=n x+x23有一个零点.方法二 由于<l) = ln 1 + 12-3=-2<0,.2）=2 2+22-3=ln 2+1 >0,所以 yu）y（2）vo,又ZU） = ln x+x23的图象在（1,2）上是不间断的，所以7U）在（1,2）上必有零点，又火x）在（0, +8）上是递增的，所以零点只有一个.反思与感悟判断函数零点个数的方法：（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；（2）由fix）=g（x） （X）= O,得 g（x） = 。），在同一直角坐标系下作出yi =虱工）和>2=。）的图象，利用图象判定方程根的个数；（3）解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.变式训练3函数於） = ln x-x+2的零点个数为（）D.不能确定答案B解析如图所示，分别作出），=lnx,y=x-2的图象，可知两函数有两个交点,即犬x）有两个零点.六、教学评价设计预习检测中的内容检测题及相差分析r 对应的学习目标L （想检测什么）I 挟 -序题与学习目标的一致性（是否能检测到）设试题的命题技术计（试题的质量与数量）检测题完成的要求预习完成情况完成人数（学优/中档/学困）预设与完成的时间典型错误错误率教师对信息的收集课I （批改/访谈/归类分类）堂I利用的预习信息怎样利用处| i如围绕典型错误组织教学）理利用得怎么样（人数/对象）环节N：教学环节1 莉 1:学习目标"学习内容LZZZ环节设计依据（学习目标/学生认知水平/教学资源特点）11时间分配1 （预设/生成）1环节过渡二学生观点1课堂作业参与人数与表情1学生板演堂习程课学过七、板书设计12
