中级质量理论辅导--随机变量分布的均值、方差与标准差.docx

中级质量理论辅导随机变量分布的均值、方差与标准差三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布（概率函数或密度函数）有几个重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。1 .均值：用来表示分布的中心位置，用E（x）表示。譬如E（x） = 5,意味着随机变量X的平均值为5。对于绝大多数的随机变量，在均值附近取值的机会较多。它的计算公式是：z七口,若比是离散分布I(1. 2-1)f xp（T）公，若无是连续分布其中诸和4和2口）与上一小段中符号含义相同，这里不再重复。2 .方差：用来表示分布的散布大小，用Var（X）表示，方差大意味着分布的散布程度较大，也即比较分散，方差小意味着分布的散布程度小，也即分布较集中。方差的计算公式是：yx)=Z区-E（X）2Pl，若婕离散分布口-/力（X）/，若凝:连续分布，、"（1.2-2）方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散布大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方，记它的正平方根为。或o(X):并称它为X的标准差：a= -=(1.2-3)由于。与X的量纲相同，在实际中更常使用标准差。表示分布的散布大小，但它的计算通常是通过先计算方差，然后开方获得。例1.2-7现在来计算例1.2-2的有关分布的均值、方差和标准差。在例1.2-2中随机变量“掷两粒骰子，点数之和Y»的均值、方差和标准差分别为：E(Y)= (2x1+3x2+4x3+5x4+6x5+7x64-8x5-x4+10x3+11 X2+12X1) =736Va<Y)= (2-7) 2*1+ (3-7) %2+ (12-7) 2*1=5.833336or(K) = ,5.8333 =2.42例1.28看图识方差(与标准差)。图1.26(a)、(b)、(d)上画出四个离散分布的线条图，其中垂线高度就是相应的概率。现间这四个分布中哪个方差大，哪个方差小。亩方差的定义知：9而=z氏一外】3其中覆=:若要方差小，则和式中每一项都要小，这要求：(1)若偏差不-E(x)的绝时值小，则相应概率2可以大一些；(2)若偏差不-E(X)的绝对值大，则相应概率小必定要小。这意味着：离均值E(X)近的值不发生的可能性大，远离均值E(X)的值不发生的可能性小，正如图1.26(d)所示。反之，若要方差大，则和式中必有某些乘积项较大，也就是说，有若干个大偏差E-E(X)发生的概率大，或者说远离均值E(X)的值不发生的可能性大，正如图1.26(公所示。从上述说明可以看出图1.26上四个离散分布的方差(从而标准差)从上到下是逐渐减小的.类似地，对连续分布也有类似解释，故图1.26沦)、(f)、(g)、(h)上四个连续分布的方差(或标准差)从上到下也是逐渐减小的。.4tII 而 III（*><c>A J 11/）图i. 2-6四个离散分布的方差嗫）a 9和四个密度函数的方差匕匕 匕3 .随机变量（或其分布）的均值与方差的运算性质：（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：E（aXb） = aE（X）+bVar（ax+b） = a2Var（X）（2）对任意两个随机变量Xi与选,有：E （占+ 均）=£（丫1）+ £（/）这个性质可以推广到三个或更多个随机变量场合。（3）设随机变量X】与无独立（即X1取什么值不影响另一个随机变量左的取值，这相当于两个试验的独立性），则有：VarXx ± Z2）= %不占）+ 电）这个性质也可推广到三个或更多个相互独立的随机变量场合。注意:方差的这个性质不能推到标准差场合，即对任意两个相互独立的随机变量Xx与X2,KXi + 莅）= KXi） + EX）,而应该是 EW +X?） =心叭Xi）+Var（X?）。或者说，对相互独立的随机变量来说，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。例1. 2-9设随机变量X与Y相互独立，均值分别为5与g,方差分别为2与25,（1）求U=3X+5的均值与方差。（2）求归2X+4Y的均值与方差。（3）求W=X-Y的标准差。利用均值与方差的运算性质可逐个算得。（1） E（U）=3E（X）+5=3*5+5=20Var （U）=9*Var（X ）=9*2= 18（2） E（V）=2E（X）+ 4E（Y）=2*5+4=46Var （V）=4*Var （X）+16*Var（Y）=4*2+16*2. 5=48（3） Var （W）=Var（X）+Var （Y） =2+2. 5=4. 5吨）=眄侬）=用=2.12