专题3.12 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

第三章圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）参考答窠与试题解析一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. （5分）（2023秋山东聊城.高二校考期末）方程/-y2gs8=i表示的曲线，下列说法错误的是（）A.当狎:表示两条直线B.当eC,r）,表示焦点在X轴上的椭圆C.当。=Tr时，表示圆D.当e（o）时，表示焦点在X轴上的双曲线【解题思路】根据cos。的值或范围结合各曲线或直线方程的特点对选项一一验证即可.【解答过程】对于A：当8=轲，方程为/=1,表示X=I与K=-I两条直线，则A说法正确；对于B：X2-y2cos=1化为/+也=1,当6（，九）时，-1<COSe<0,则一表>1,则/+9=1cosCOS0表示焦点在y轴上的椭圆，故B说法错误：对于C：当6=TT时，方程为/+y2=,表示圆心为原点，半径为1的圆，则C说法正确；对于D：jocose=1化为/=1,当Ow（0,2）时，OVcosOV1,则二7>1'则/二1表z2/cosCOSecos示焦点在X轴上的双曲线，故D说法正确；故选：B.2. （5分）（2023春福建福州高二校联考期末）设点小F?分别是椭圆Cq+看=1伍>8>0）的左、右焦点，点M、N在C上（M位于第一-象限）且点M、N关于原点对称，若IMN1=IF1F2,NF2=3MF2,则C的离心率为（）A.叵B.叵C.巴D.辿8488【解题思路】分析可知，四边形为矩形，设MF2=3则IMF11=3t（t>0）,利用椭圆定义可得出2与t的等量关系，利用勾股定理可得出2c与t的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【解答过程】如下图所示：由题意可知，。为F1F2、MN的中点，则四边形MF1NF2为平行四边形，则|M&|=NF2I=3|M&I，又因为IMN1=FIF2,则四边形MFINF2为矩形，设IMF2=3则IMa1=3tQ>0）,所以，2aMF1MF2由勾股定理可得2c=F1F2=MF12+IMF2I2=9t2+t2=10t,所以，该椭圆的离心率为e=胃=等=零.2a4t4故选：B.3. （5分）（2023春广西河池高二统考期末）已知双曲线。:三一二19：>（）,匕>0）的左、右焦点分别是a6b6F1,F2,焦距为2c,以线段F/2为直径的圆在第一象限交双曲线C于点A,sin乙40尸2=亨，则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±3xC.y=±2xD.y=±V2x【解题思路】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2小计算渐近因为线段F/2为直径的圆在第一象限交双曲线C于点4所以4F1AF2,sin乙4F/2=甯=>AF2=仁芹，则MF11=（行;",4F1-AF2=c=2a.=J=V3,二渐近线方程为y=±V5x.故选:B.4. (5分)(2023西藏日喀则统考一模)已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一动点，点。为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一动点，点F为抛物线的焦点，点尸到y轴的距禽为&若PQ+d的最小值为3则P=()A.1B.2C.3D.4【解题思路】由抛物线的定义，数形结合可知当C,Q,P,F共线，且P,Q在线段CF上时，IPQI+P最短，此时PQ+d有最小值，列方程即可求解.【解答过程】圆。:(+2)2+(3/-4)2=1的圆心。(一2,4),半径r=1,抛物线产=2px(p>0)的焦点为&0),准线为=-1,则由抛的线的定义可知点P到y轴的距离为d=IPF1-所以IPQ1+d=PQ+PF-*由图可知，当C,Q,P,尸共线，且P,Q在线段C尸上时，IPQI+1PF1最短,而ICF1=昭+2?+16,因为PQ+IPF1-I=IC尸|-r-=3,所以JC+2)2+i6-1-9=3,解得p=2,5. (5分)(2023全国高三专题练习)已知抛物线Gy2=2pX(P>o)的焦点为F,准线I与轴的交点为,点P在C上且位于第一象限，PQ上I于点Q,过点P作。尸的平行线交汇轴于点R,若PFIQR,且四边形PQKR的面积为606，则直线QR的方程为()A. 3x+y36=OC.X+3y36=OB. 3x+y56=OD.X+3y-56=O【解题思路】根据几何关系可判断出。刊?为菱形，其可判断APQ?与APFR均为正三角形，由此得到与菱形边长关系，再根据面积得到值，最终根据点斜式得到方程.【解答过程】如图，因为Pm1QF,PQ1QK,所以四边形尸QFR为平行四边形.又因为P尸IQR,所以四边形PQFR为菱形，所以IPQ1=IQ用.由抛物线的定义知IPQ1=IPF则IPQI=PF=QF=FR=PRt即APQF与APFR均为正三角形，设IQF1=3则在RtAKQF中，IKF1=与，即p=3即t=2p.3因为四边形PQKR的面积为60百，所以竺等=当空=603,解得p=2,WJ(56,O),又直线QR的斜率k=tan150。=一圣故选D.6. (5分)(2023全国高三专题练习)已知抛物线C方程为=4y,尸为其焦点，过点尸的直线/与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在4,4两点处的切线分别交X轴于P,。两点，则MP18QI的取值范围为()A.&+8)B.2,+)C.(2,+)D.0,2)【解题思路】设直线/的方程为：y=kx+1f4&,为,8(如¥)，与抛物线联立求出/乃二一4,再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A,8两点处的切线方程，得到RQ的坐标，即可得到IAP1IBQI的表达式，然后根据基本不等式即可求出.【解答过程】因为抛物线C方程为=4y,所以其焦点为(0,1),所以可设直线/的方程为：y=k%+1,M孙雪Ba2，§),(斜率不存在的直线显然不符合题意)，联立抛物线方程可得，x2-4kx-4=0,所以.无2=-4,又/=4y=y=(=V=5所以抛物线在A处的切线方程为：y-=(x-x1),即y=x-手令y=0,可得点P的坐标为管,0),同理可得，点Q的坐标为管,0)，所以伊P|.8Q=J1+泳-×J1+x2-T=；(4+xf)(4+2)=(32+4(*+后)i32+4×2x1x2=2,当且仅当IX11=x2=2时取等号，即MP1HQ1的取值范围为2,+8）.故选:B.7. （5分）（2023全国高三专题练习）椭圆5+2=1（。80）的右焦点为凡上顶点为4,若存在直线!与椭圆交于不同两点3,C,ZkABC重心为F,直线I的斜率取值范围是（）A.（0,2）B.（,C.（0,1）D.（-2,0）【解题思路】设Ba1/1）（必,为），根据重心性质可得勺+必=3。,%+为=一可由点差法可得册C=一等智，结合匕关系和基本不等式可求直线1的斜率取值范围02（y+yz）【解答过程】设椭圆1+9=1的半焦距为c,2b2由已知F（C,0）,4（0,/）,设Ba1,%）,穴%2,力），因为ABC重心为F,所以不+%2+0=3c,%+为+b=3X0,所以X+X2=3c,%+y2=-b,+=1a2b2立+或=1.a2b2所以，（八+邕）（“1-小）+（%+，2）（八一力）=0>=0,所以直缴的斜粒=-鬻*=等=怒转，当且仅当b=C时等号成立，3bc0,所以直线1的斜率取值范围是（0国故选：B.y8. （5分）（2023秋湖北恩施高二校联考期末）法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2+=1（Q>b>0）的蒙日圆为C/+y2=12,过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P,。两点，直线PQ交r于A,B两点，则下列结论不正确的是（）A.椭圆r的离心率为当8. AMPQ面积的最大值为c.M到r的左焦点的距离的最小值为吟生D.若动点。在上，将直线D4,08的斜率分别记为七，k2,则七公=一：【解题思路】对于A,取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，可得答案；对于B,根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；对于C,设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；对于D,设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，可得答案.【解答过程】依题意，过椭圆r的上顶点作y轴的垂线，过椭圆r的右顶点作X轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以。2+炉=,。2,得q2=22,所以椭圆的离心率e=：=J1-捺=字,故A正确；因为点M,P,Q都在圆C上，且4PMQ=90。，所以PQ为圆C的直径，所以IPQ1=2x2=6,所以AMPQ面积的最大值为IPQ1X期=与X即=清,故B不正确；设Mao少0），的左焦点为尸（一c,0），连接MF,因为c?=a2-b2=2,所以IMFI2=（0+c）2+Jo=xo÷Xo+2xoc+c2=z÷2x0×y+2=2a2+2ax0,又-1a%oa,所以IMFI2（2-VS）。?，则用到r的左焦点的距离的最小值为超浮，故C正确；由直线PQ经过坐标原点，易得点A,8关于原点对称，设AG1J1），。（%2，、2），则B（TI1yI）,融=手资，&=今资，Xj"X2M+H21+左=1又卜彳”一,所以铝+好=0,所以=江.巫=_,所以自&=_<，故D正确xjy£12ft2b2×1-×2×1-×2×t+×2212W+京=1故选：B.二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9. （5分）（2023春贵州黔南高二统考期末）已知尸是椭圆C:二+y2=1上的动点,Q是圆D:（x+1）2+y2上的动点，则（）A.椭圆C的焦距为百B.椭圆C的离心率为苧C.圆。在椭圆C的内部D.IPQI的最小值为当【解题思路】A和B：利用椭圆的方程求解判断；C：由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D：利用圆心到点的距离判断.【解答过程】因为椭圆方程为：9+y2=,所以02=4,标=I,c2=02一块=3,e=£=?，焦距为25,故A错误，B正确;a2=1(x+I)2+1,得3+8x+7=0,y2=z因为A=82-4×3×7=-20<0,所以椭圆与圆无公共点，又圆心（一1o）在椭圆内部，所以圆在椭圆内部，故C正确；设P(%y)(-2x2),+1)2+1?=x2+2x+2,当X=-J=Y时，IPDI取得最小值（1=£则IPQ1的最小值为当一；，故D错误，-2XZ373332故选：BC.10. （5分）（2023春辽宁朝阳高二校联考期末）已知抛物线C=2py（p>0）,过其准线上的点T（t,-1）作r的两条切线，切点分别为4、8,下列说法正确的是（）A.p=4B.当£=1时，TA1TBC.当t=1时，直线AB的斜率为2D.直线45过定点（0,1）【解题思路】根据丁（。-1）为准线上的点列方程-£=-1,解方程即可得至IJP