专题25 面积与数量积型取值范围模型(原卷版).docx

专题25面积与数量积型取值范围模型【例题选讲】例11已知椭圆C：5+Q1(4">O)与双曲线2=1的离心率互为倒数，且直线1y2=0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点。的直线与椭圆C交于M,N两点，且直线0例，MN,ON的斜率依次成等比数列，求AOMN面积的取值范围.规范解答I(I);双曲线的离心率为¥，,椭圆的离心率。=5=乎.又;直线xy2=0经过椭圆的右顶点，；.右顶点为点(2,0),即=2,C=小，b=1,椭圆方程为5+9=1(2)由题意可设直线的方程为y=kr+m(后O,n0)tM(xt»),MX2,y2).y=fcc÷H,联立,消去y,并整理得(1+4A2)x2+8hnx+4(-i)=o,j÷r=*贝UX1+及=X1X2=普U，于是y'2=(履i+m)("2+M=X2+Ama1+工2)÷2.又直线OM,MN,CW的斜率依次成等比数列，故入出YTI处IX1X2XIX2则-；：；2+与=0,由?和得S=:,解得2=4又由=Mkinr-16(1+43)(/-1)=16(42-m2+1)>0,得OVm?<2,显然，n21(否则XIX2=0,Xi»X2中至少有一个为0,直线OM,QV中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点。到直线的距离为d,则SAoMN=1+FMX2jz=WX1+x22-4x2=-w2-12+1.故由小的取值范围可得AOMN面积的取值范围为(0,1).例2(2018浙江)如图，已知点尸是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C:y2=4上存在不同的两点4,8满足¾,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明：PM垂直于)，轴；(2)若P是半椭圆f+：=Ia<0)上的动点，求ABAB面积的取值范围.规范解答I(1)设P(&,泗)，A(I>彳，y),也)因为E4,PA的中点在抛物线上，所以y,”为方程()'°=4±,即y22joj÷8xo-3=0的两个不同的实根.所以j÷j2=2jo,所以PM垂直于y轴.y+j2=2>,o,13由可知j,所以IPM=五(yf+M)XO=彳y3-3o,Iyi-闵=Vn72=0-57»»°T2J2(>-4xo).所以a¾8的面积S出8=肯尸M心，1y2=因为+T=1(-1ro<O),所以>64沏=4%4xo+44,5,所以AFB面积的取值范围是班，粤叫.例3已知A,8是X轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且HB1=。3>0),过A,B分别作X轴的垂线，与抛物线y2=2pMp>0)在第一象限分别交于。，C两点.(1)若=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合，求直线Co的斜率；若O为坐标原点，idOCD的面积为S,梯形ABCQ的面积为S2,求亲的取值范围.32规范解答I(1)由题意知A(冬0),贝！破+出0),从冬P),则包+mp2+2p,又a=p,所以kcD=O=小一1H_I122y=k-h,1y1=2pxf(2)设直线CD的方程为y=fcc+WO),Cay),Oa2,”),得好22Py+2pb=0,所以=4p2-8幼>0,得妨§,又y+v=华，”=平，由y+y2=X),yty2=>0,可知Qo,>0,因为ICD1=W+。-Xi1=crj1÷A2,点。到直线。的距离人舟,所以S=1+21-=).又s2=(y+y2)k1一刈=3半&=贷，所以潦=S因为OV止§,所以0<M.即卷的取值范围为(0,1).例4如图，椭圆C：，+方=1(a>b>O)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为Q,F2,过点A且斜率为T的直线与y轴交于点尸，与椭圆交于另一个点8,且点8在X轴上的射影恰好为点R.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于£的直线与椭圆交于M,N两点(IPM>PN),若Spam:SAPM=2,求实数2的取值范围.7=2,规范解答(1)因为BFi-1x轴，所以点B(-c,一勺，所以|京7=+解得.02=2÷c2%=2,<b=小,«=1,所以椭圆C的标准方程是?+=1.(2)因为cEAPMSinZAPM'""N)p8PNsinN8PN2PM；JPM乙后_2蓊1PN-'npN-2(">2),所以尸“一?PN.由可知的,-1),设直线MN的方程为尸区一«*),(x1,y),N(X2,y=kx-,联立方程，得,+(=f.8k内十12-4&2+3,化简得，(4K+3)f-8丘一8=0.得_8孙M二鬲彳(*)22又丽=(X1,>t÷1)tPN=(X2”+1)，有XI=-5T2，将汨=n代入(*)可得，、:_16正=4d+3+因为所以16A2_16许二注(2-A)2(1,4),则IV、/V4且)>2,解得4VV4+25.综上所述，实数7的取值范围为(4,4+23).例5(2016全国乙)设圆2+y2+Zr-15=0的圆心为A,直线/过点8(1,0)且与X轴不重合，/交圆A于C,O两点，过8作4C的平行线交AO于点比(1)证明IEAI+E阴为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线G,直线/交G于M,N两点，过B且与/垂直的直线与圆4交于P,。两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.规范解答I(D因为IAz)I=IACEB/AC,故NEBD=NACD=NADC所以EB=ED,故|£川+EB=EA-VED=AD.又圆A的标准方程为+1)2+y2=16,从而IAD1=4,所以E4+EB=4.77由题设得A(-1,O),8(1,O),AB=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+，=1(月0).(2)当/与X轴不垂直时，设/的方程为y=依-1)(后0),M3,j),MX2,”).由'产小T)，足4372F+q_得(4F+3)2-8A+42-12=0,则X1X2=7卢p3，所以IMM=÷PiX2J#；,过点5(1,0)且与/垂直的直线m：y=-I),A到m的距离为游p所以故四边形MPNQ的面积S=IIMN1IPQI=I1+而三.可得当/与X轴不垂直时，四边形用ZWQ面积的取值范围为(12,83).当/与X轴垂直时，其方程为X=1,IMM=3,IPo1=8,四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).例6已知圆心为”的圆f+V+2r15=0和定点A(1,0),3是圆上任意一点，线段48的中垂线/和直线4相交于点例，当点8在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.(1)求C的方程;(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P,。和E,F,求屋办的取值范围.规范解答(1)由f+y2+2r-15=0,得(x+Ip+y2=16,所以圆心为”(一1,0),半径为4.连接MA,由/是线段48的中垂线，得IMAI=IM用，所以IMAI+1MH1=IMBI+M/I=IB司=4,又HM=2<4.根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A,”为焦点，4为长轴长的桶圆，所以/=4,c2=1,6=3,所求曲线C的方程为+=1.(2)由直线E户与直线PQ垂直，可得力戏=破#=(),于是屋辟=(立#)(#一也)=A当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，此时可不妨取GI),(b-今，EQ,0),F(-2,0),所以星.耕=(1,O(-3,D=-3-=-y.当直线尸Q的斜率为零时，直线七户的斜率不存在，同理可得陞办=一彳.当直线P。的斜率存在且不为零时，直线E/的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y=k(-),P(xptyp)tQ(Xq,.v),P=(xp-typ)t恁=(XQ1,y),则直线E尸的方程为y=一(-1).将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3+4a/一8七十4二-12=0,6片I、JI8-4.-12所以划+xo=3+4'XpXQ=3+42,于是#恁=O-I)(XQ1)+y“Q=(I+1ci)xpXQ(xp÷xq)+1/4F128-191+FTITK)(3+#23+4Q厂3+4标，将上面的2换成一%可得屈#=-3端，所以星/=旅#+#&=-9(1+M)(j7+).令1+d=八则>1,于是上式化简整理可得，曲冰=-9/(4z-|+3/+1)=-12湾T=-也Iy由r>1,得0<<1,所以y<½r<-y.综合可知，法讨的取值范围为一卷，一竿例7已知椭圆Ci：+5=1(a>b>O)与抛物线Cz:X2=2"0>O)有一个公共焦点，抛物线C2的准线/与椭圆G有一交点坐标是(娘，-2).(1)求椭圆C与抛物线C2的方程；(2)若点P是直线/上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,直线A3与椭圆G分别交于点E,F,求无办的取值范围.规范解答(1)抛物线。2的准线方程是5=2,所以一号=一2,即p=4,所以抛物线。2的方程为x2=Sy.22椭圆G：/+W=1(0>b>O)的焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),所以c=2.2=2÷0+2+(2+2)2=42,27解得=2啦，则b=2,所以椭圆G的方程为+5=1.(2)设点?“，2),A(x,y),B(x2,也)，Ea3,”)，尸(内，>)>抛物线方程可化为y=(r2,求导得了=%,所以AP的方程为y9=；,"。一即),将尸(f,-2)代入,得一2一y=WX1f2yI,即y=g+2.同理，BP的方程为及=,m+2,所以直线A8的方程为y=5x+2.y=rx+2,由<22消去必整理得(2+32)2+16a-64=0,W'-611_贝U/=256尸+256(P+32)>0,且+心=j17(7，XG4=.+32'所以旎办'=W4+"则=(1÷y)x34+恭3+M+4=，=?言2-8因为OVK1°,所以近赤的取值范围是(一8,2.72例8已知椭圆C3+5=1(Q>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且长轴长为8,T3为椭圆上任意一点，直线7,TB的斜率之积为一不(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P,Q两点,求加丽+麻力碗的取值范围.规范解答I(1)设Tu,y),由题意知4-4,0),8(4,0),设直线办的斜率为加直线TB的斜率为贝必尸由七.V-V4.3-4,故椭圆C的方程为m+W=1(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=H+2,点P,Q的坐标分别为(即,y),(电),4÷-=联立方程，612消去y,得(4二+3)2+16区-32=0.,y=x÷2所以即+必=XIX2324后+3.从而，0P0Q+MPMQ=xX