专题24 长度和距离型取值范围模型(原卷版).docx

专题24长度和距离型取值范围模型【例题选讲】例1己知抛物线C：V=2'X(P>O)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线/交C于另一点从交X轴的正半轴于点D(1)若当点A的横坐标为3,且/MO产为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点Oao,0)Gw)，记点4关于X轴的对称点为£AE交X轴于点P,且AP_18P,求证：点P的坐标为(一的，0),并求点尸到直线48的距离d的取值范围.规范解答I由题意知造，0),IEM=3+多则D(3+p,0),FD的中点坐标为O攵4+3一2则+m=3,解得p=2,故。的方程为y2=4x.(2)依题意可设直线AB的方程为=wv÷xo(wO),A(x,y),B(x,y2)1则E(X2,”)，由F1消去占得y24/wy4xo=O,沏.x=my-rxo,£所以/=16m2÷16o>0,yi+”=4"i,yy2=-4xo»设P的坐标为(9，0),则屋=(必一Ms力)，可=-xp,yi),由题意知屋中，所以(X2孙加+力(加一Xp)=0,即X2y÷>,2=(y÷>,2)pt显然y+y2=4w0,所以什刈，即证P(一沏，0),由题意知AEPB为等腰直角三角形,所以以p=i,即HN=1,也即1户+”所以y-y2=4,所以(yi+”):-4y”=16,即16+16项=16,m2=-otXOV1,又因为X昌，所以9o<1,|一沏一Xo12°2xoJ1÷n271+川y2-o'令.2ro=(1,乎,M)=22,d=2t2/,易知人/)=2r在(1,哗上是减函数，所以dW,2).所以d的取值范围是坐2).例2已知椭圆C5+W=13>Z>O)的离心率为坐，过点M(1,0)的直线/交椭圆C于A,B两点,M=2MB,且当直线/垂直于X轴时，|4用=啦.(1)求椭圆C的方程；(2)若;1Q,2,求弦长HB1的取值范围.规范解答(1)由已知e=乎，得A=坐，又当直线垂直于X轴时，A=2,所以椭圆过点(1,嗡,代入椭圆方程得5+=,2Y/="+冷联立方程可得/=2,从=1,，椭圆。的方程为5+y2=1.(2)当过点M的直线斜率为0时，点4,8分别为桶圆长轴的端点，"=*1=3+25>2或，=+；=3-26<1,不符合题意；直线的斜率不能为0.设直线方程为X=ZWy+1,A(x,j),B(X2,”)，将直线方程代入椭圆方程得：(n2+2)2+2my-1=0,"=一离，由根与系数的关系可得，J1W=-亦，将式平方除以式可得：+2=-4,由已知IMAI=川MBI可知，?=一九；-2：+2=-又知2丘*2,-A÷2=(),"3一、2"解得0,.AB2=(+m2)y-y22=(1÷m2)(yy2)2yy2=2=Vm*0,加2+2右T,2,11e2,例3设点尸为椭圆C：盆+盆=1(m>O)的左焦点，直线y=x被椭圆。截得弦长为(1)求椭圆C的方程;圆P：Q+叫tQ，一¥)2=产3>0)与椭圆C交于A,B两点、,M为线段48上任意一点,直线/7M交椭圆C于P,。两点，AB为圆P的直径，且直线尸M的斜率大于1,求IPFHQFI的取值范围.规范解答I(1)由<4m43相一,得/=)2=手，故2后于=2y怦=率，解得y=xm=t72故椭圆C的方程为5+f=1.(2)设Aa1,y),(2,J2)»_83工IJ2-,7,y>>j2-7(XI+X2)(X1-M)(yi+山)(一”)所以41j=0.V1V1则(加一刈)一(，|”)=0,故kAB=_=1,XX2则直线AB的方程为y邛=x+芈，即y=x+5,代入椭圆C的方程并整理得7«÷83x=O,则由=0,X2=一半,故直线EW的斜率k小，+),住+J,设FM:y=k(x+1),由J43得(3+4F)x2+8Rx+4212=0,y=k(+1)8F4ki-2设尸。3，券)，Q(X4,J4),则有3÷4=3+42,W4=3+4*又IPE=西研制+1|,=P÷Px4+1,41r-12-3÷4F-3+4+1=(1+F)xi=如5),因为Q5,所以长的+不占转，即PQIQ71的取值范围是律yJV2i例4已知椭圆C：/+=1(。80)的离心率是争且椭圆经过点(0,1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/1：x+2y2=0与圆。：x2+y2-6x4y+n=0相切：(i)求圆。的标准方程；(ii)若直线/2过定点(3,0),与椭圆C交于不同的两点EF,与圆。交于不同的两点M,N,求IEF1"M的取值范围.规范解答:椭圆经过点(0,1),'±=1,解得护=1,1=坐，W=坐,.*.3t?=4c2=4(u21),解得"2=4,，椭圆。的标准方程为，+j2=.(2)(i)EJD的标准方程为。-3)2+。-2)2=13-m,圆心为(3,2),.直线:x+2y-2=0与圆。相切，圆D的半径2=小,，圆。的标准方程为(x3)2+。-2)2=5.(ii)由题可得直线Z2的斜率存在，设/2方程为y=M-3),A=A(X+3)由V2,消去y整理得(1+4R)X2-24炉工+36炉-4=0,R2=I直线/2与椭圆C交于不同的两点反F,J=(-242)2-4(1+42)(36A2-4)=16(152)>O,解得0it2<.、儿r11124A2362-4设E(X1,y),Fx2,»),则内+必=+40，X1X2=+41'EF小+e(x+x2)2-4X2=yj>,24236一4(1+的(中逆-4/(+K)(15K)4(1+42)2,又圆O的圆心(3,2)到直线乙：依一y-3A=0的距离d=师一2一3川22+1-F÷i,7+,圆D截直线/2所得弦长IMN1=2"工？=2；/(1+Zr)(1-5Zr)C5Zr+1C/25.附TMM=4(+4M)22%=8?TTW9、t-A5(一)2设=1+21,寸，则2=,EFWM=81P=2-9()2+50-25,V1,1),*-9()2+5O-25e(O,16,|七八明可)的取值范围为(0，8.例5已知椭圆C3+方=1(。力°)的离心率为半，且椭圆。过点修，乎).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线/与椭圆C分别相交于A,8两点，且与圆O：+=2相交于E,尸两点，求依卦|班2的取值范围.规范解答I(1)由题意得5=坐，所以。2=”2,所以椭圆的方程为卢+W=1,将点G，孝)代入方程得从=2,即合=3,所以椭圆C的标准方程为1+=1.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0),若直线/的斜率不存在，直线/的方程为x=1,则4(1,1，£(1,1)»FQ,1),所以A8=芈，EF2=4,ABEF2kk1:YB中点为(1,1),；加+m)=2f+=1,则=5.=-,若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=M-1),A(,y),(-2,j2).Jr1ri-,T+,=hG1r32-6联立2可得(2+32)2-6Z+3-6=0,则x÷x2=TTTTJ*xx2=011,2,2rJAr2十3ATy=k-1,所以AB=W+2)(x1及产=(i+)2-4×1S43+1=2+3正,因为圆心。(0,0)到直线/的距离I=性不所以IEQ2=4(2式7)=*Fjz,因为F0,÷),所以IABHEFpI631.综上，依卦同平的取值范围为所以A8HEF2=45(d+1)4(d+2)_16§(M+2)16§F+22+3K'I直线A8的方程为y-1=-(-1),即x+2y-3=0.(2)由(1)可知必用=T+PX-X2=1+2xi+x22-4xix2=W!+1=2+3F=3'2例6已知椭圆八j+=1,过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线/1,/2,设与椭圆厂交于A、8两点，/2与椭圆厂交于C，。两点.(1)若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)若直线K与/2的斜率都存在，记%=耦,求人的取值范围.I规范解答(1)解法一(点差法)：由题意可知直线48的斜率存在.+=1,_q设4札八Wmy2),则正两式作差得言W=一言整=一今等=14÷2=h12,：,直线AB的方程为y1=-(-1),即x÷2y-3=0.解法二：由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为女，则其方程为)，一1=以1一1),代入f+2y2=4中，得+2履一伏一1)2-4=0.(1+2K)-4&/-I)X+2伏-1)2-4=0.j=-4(-1)jI2-4(22÷1)2(-1)2-4=8(32+2+1)>0.设A(X1,y),8(X2,力)，贝上4U-1x+m=而乔2-12-4W2=2÷1-1+F83M-2A+12Jt2+1.3AB,CD3M+2k+1312k+a°)'»。设直线8的方程为>一1=一Za-1)(O).同理可得ICD1=141112=1+32+1-2=1+j,令，=34+工，则fW(-8,-23U23,÷o),3火+7-2411令g(f)=1+y,(-,-23U23,÷),.g在(一8,-23,23,+oo)上单调递减，2小玄VI或IVg2+1故2小4?<1或1<A22+3.2*2取'I)IJ(1，乖彳.例7己知点尸为椭圆E，+冬=1(心心0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线今+=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线今+芸1与y轴交于P,过点尸的直线/与椭圆后交于不同的两点4,8,若用PM2=IR1HP用，求实数/1的取值范围.直线+3=1与椭圆E有且仅有一个交点M,/=4-4(4-3凸=0,解得c2=1,椭圆E的方程为+5=15-4=2(2)由(1)得Mj,考，直线，芸1与y轴交于RO,2),114当直线/与X轴垂直时，IRMPB1=(2+5)x(25)=1，*PMf=PAPB=y当直线/与X轴不垂直时，设直线/的方