专题21 数量积、角度及参数型定值问题(原卷版).docx

专题21数量积、角度及参数型定值问题题型一数积型定值问题【例题选讲】例1已知椭圆，+/=1(力0)的离心率为挈右焦点为尸(1,0),直线I经过点F,且与椭圆交于A,8两点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线/绕点F转动时，试问：在X轴上是否存在定点M,使得苏林为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.规范解答I(1)由题意可知，c=1,又e=5=乎，解得=1所以"=/一/=,所以椭圆的方程为，+y2=1.(2)若直线不/垂直于X轴，可设/的方程为y=k(x1).联立椭圆方程，+y2=1,化为(1+2*-4公+2标-2=0,设A(X1,y),5(X2,”)，则ki+x2=2+,即检=而不j设M(f,0),则诚=(即一hj),Mb=(x2-t,州)，=(xi-t,yI)(X2_f,J2)=(xt)(X2r)+W=U1t(X2/)+2C1)(X2-1)2!c-2A1c=(I÷2)X12-(r+)(x÷X2)÷r2+2=(1+2)27+-(，+/)2K+/2(2r2-4+1)+r2-222+1,要使得苏前=42为常数)，只要炉蓝2*F±*-2=1即(2-一4.+1-2)2÷(z2-2-)=0.22-4z+1-22=0,对于任意实数要使上式恒成立，只要2r.八，解得,1i2-2-=0若直线，垂直于X轴，其方程为X=1,此时，直线，与椭圆两交点为A(1,孚)，8(1,54*点取1-41-4=(-)(-)+2(-2)=-="综上所述，过定点尸(1,0)的动直线/与椭圆相交于A,8两点，当直线/绕点尸转动时,存在定点0),使得磁讳=一5.例2已知。为坐标原点，椭圆CY+y2=1上一点E在第一象限，若。£=乎.(1)求点E的坐标；(2)椭圆C两个顶点分别为4(-2,0),8(2,0),过点M(0,-1)的直线/交椭圆C于点D,交X轴于点P,若直线4。与直线”/3相交于点。，求证：办远为定值.j万规范解答(D设E(M,yo)(xo>O,yo>O),因为IoEI=彳,所以Mro。+y/=彳，又因为点E在椭圆上，所以号"+泗2=，40=1,广由解得：3,所以E的坐标为(1,鸣；Jo=2，(2)设点ZXr,y),则直线£>A的方程为丫=7为%+2)，直线8M的方程为y=%-1，由解得R=等芝普，又直线。M的方程为y=*x1,an2zx忏|、川-2(x+2y+2)12(黯+力:中+2¥1)令),=0,解得.卬=赤,所以办曲='12a+2v+2=w+x12W+2'-,X2,2,的wR>2(x/+2q，i+2xi)又7-+y=1,所以OPoq=5-2=4.-ty+x÷3-例3椭圆有两顶点41,0),8(1,0),过其焦点网0,1)的直线/与椭圆交于C,D两点,并与X轴交于点P.直线AC与直线B。交于点Q.(1)当ICD1=平时，求直线/的方程：(2)当点P异于A,3两点时，求证：的为定值.规范解答I(1)因椭圆焦点在y轴上,由已知得b=1,c=1,所以=5,椭圆方程为为5+f=1直线/垂直于X轴时与题意不符.设直线/的方程为y=x+1,将其代入椭圆方程化简得，(炉+2)f+2依-1=0.2kI设C(X1,y),Oa2,力)，则'x+m=一百，X1X2=一百工，噜护=挈解得矩所以直线/的方程为丁=，2丫+1或y=qx+1.(2)直线/与X轴垂直时与题意不符.设直线/的方程为y=b+1(0且原±1),所以尸点坐标为(一工，0).2k1设Ca1,>,1),Oa2,J2),由(1)知X1+#2=一百工，X1X2=_7+2,直线AC的方程为J=扁(x+1),直线BD的方程为y=湛Ia1),将两直线方程联立，消去y得Ej="t因为一1Vm,X2<1,所以与?异X1yI(X21)1/1号.21x+12_儿2(即+1)2_2垃2Cn+1)2_(1+x)(1+x2)_I-+2R+2_2-1,(rP一劝2(刈一1)2-2X2'(X2-1)2-(1即)(1M)2k1-÷P*1?+2+F÷2又M，2=*+檎)+.=%铲人-会曷空与小异号，答与同号，EH解得X=T，因此。点坐标为(一七yd).分屈=(一£OX鼠泗)=1,故芬而为定值.79例4如图，点M在椭圆5+£=1，(0<h<2)±,且位于第一象限，F,B为椭圆的两个焦点，过B,F2,M的圆与)，轴交于点尸，Q(P在。的上方)，IoPHoQ1=1(1)求b的值；(2)直线PM与直线x=2交于点M试问，在X轴上是否存在定点T,使得施病为定值？若存在，求出点丁的坐标与该定值；若不存在，请说明理由.I规范解答I(1)设圆心(0,力则圆的方程为：+-o2=c2+/2.令X=0,得：y2-2-c2=0(*),OPOQ=>,>>,=c2=.*>b=a1-c1=1.(2)设M(X0,yo),xo>O,>,o>O将(0.抑)代入圆与椭圆的方程，可得.xo2+yoi-2tyo-1=0,xo2+2yo2=2,消去刈，得'=/%"，代入(*)得：J2-y°J-1=0,即1y2r(jf)y=0,所以3加+和)=°，过K,B,M的圆与y轴交于点P,Q(P在Q的上方).所以y=(,yQ=一如11yo72yo.则幻M=T2则直线PM的方程为y=T+2,XoXoJo由直线PM与x=2的交点为N.所以在直线PM的方程中，令x=2,，日”川rII20/-1),11X。/=.I-XO.得y=-×2÷-=-+-=.得M2,),Xoyo松Iyoyo和,加”设T(d,0),TMTN=(XOd,>,o)(2-J,°)=(xo-<)(21)÷1xo=(1-d)xod(2-)+1.要使得施.徜为定值，即与M的坐标无关.当d=1时，为笊=0为定值.存在定点7(1,0),使得拓也为定值0.例5已知椭圆C+E=I(G>b>0)的离心率为坐过右焦点且垂直于X轴的直线与椭圆。交于A,B两点，且A8=1直线Zy=MXM(mR,成>»与椭圆。交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点/?("0),若就前是一个与女无关的常数，求实数用的值.规范解答(1)联立,"十”1解得)，=4，故亭=®e=I=当,a2=b2+c2f.x=c,联立可得。=由，b=c=1,故椭圆C的标准方程为5+y2=1.(2)设Ma.y),N(X2,良)，联立方程<消元得(1+22)x2-4w2x÷2m2cy=k(-m)t-2=0,4mP2=16*44-4(1+2k1)(2k1m2-2)=8(22k1m2÷1),ai+h=羽UXIK2=21+.V=(x-)(x2-)+y>1=xX2-Cn+x2)+÷2(x-w)(x2-W)=(÷x2-(÷wAr)(x1÷x2)÷+2w2=羽+，÷,(这里的计算使用点乘双根法更便捷)令(1+2F)X24w2÷Hcin1-I=(1÷2Ar)(x-)(x-),_77(1+21r)5mk2+31n22MA5,5、，5Io再令X=不得(乃一»(也一»=汨Tj,、Hn,rk一2,.*yy2=c(xm)(x2m)t，再令X=加，得1(xm)(x2-w)=；，/5、/5.(3m25m2)A?225.x.-4)(x2-4)÷y1y2=唳中+讳(选择自己熟练的计算方法进行计算，务必保证计算不能出错)又褊丽是一个与2无关的常数，3户一5w-2=-4,即3>-5m+2=0,23Awt=1或刖=§，又,*w>,zw=1,当m=1时，J>0,直线/与椭圆C交于两点，满足题意，w=1.题后悟通本题的关键点就在于如何使1弼Tj成为一个与k无关的常数,在这里应用了比例的性质，即令分子分母中的同类项成比例，可以观察到分子分母的常数项的比例为一2,则令分子分母中3的系数的比例也为一2,即令3/一51一2=4,则可求出参数的值.【对点训练】1 .已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆的左顶点坐标为(一也，0),离心率为e=啦2 .(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线/交E于P、Q两点，试问：在X轴上是否存在一个定点M,使面>A7为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.2 .已知椭圆，+g=13>b>0)的一个焦点与抛物线j2=45x的焦点/重合，且椭圆短轴的两个端点与点尸构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线/与椭圆交于不同的两点P,Q,试问在%轴上是否存在定点E(m,0),使星,俄恒为定值？若存在,求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.3 .在平面直角坐标系Xoy中，已知椭圆C：'+*=1(>">0)的离心率为乎,且过点(1,净，过椭圆的左顶点A作直线11X轴，点"为直线/上的动点，点B为椭圆右顶点，直线交椭圆C于P.(1)求椭圆。的方程；(2)求证：AP±OM;(3)试问办加是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.v2214 .已知椭圆C：7+.=1(4>b>O)上的点到两个焦点的距离之和为短轴长为菱，直线I与椭圆。交于M,N两点.(1)求椭圆。的方程；(2)若直线/与圆O：x2+yz=*相切，求证：威确为定值.5 .已知以原点。为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线尸的离心率e=坐.(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(2)如图，已知过点M(XI,y)的直线/1：xx+4y=4与过点MX2,也)(其中将5)的直线自X2x+4y2y=4的交点E在双曲线。上，直线MN与两条渐近线分别交于G,H两点,求花济的值.题型二角度型定值问题【例题选讲】例1已知椭圆卬：/+去=1(。>力>0)的上下顶点分别为4,8,且点8(0,-1).F,尸2分别为椭圆W的左、右焦点，且N尸山尸2=120。.(1)求椭圆W的标准方程；(2)点M是椭圆上异于A,8的任意一点，过点M作MN_1)，轴于N,E为线段MN的中点.直线AE与直线丫=-1交于点C,G为线段8C的中点，O为坐标原点.求证：NoEG为定值.I规范解答(1)依题意，得6=1.又NB5B=120。，在R1PO中，NKBo=60。,所以a=2.所以椭圆W的标准方程为5+y2=1.(2)设M(X°,yo)txoO,则N(0,州)，E考，州).因为点例在椭圆卬上，所以号+y()2=.即02=4-4>.又4(0，1),所以直线AE的方程为y1=x.令y=-1,得CQ屈-,1).即I-yo又8(0,-1),G为线段8C的中点