专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

专题2.7直线与圆的位置关系【九大题型】【人教A版(2019)【题型1直线与圆的位置关系的判定】2【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】2【题型3圆的切线长及切线方程的求解】3【题型4已知切线求参数】3【题型5求圆的弦长与中点弦】4【题型6己知圆的弦长求方程或参数】5【题型7直线与部分圆的相交问题】5【题型8直线与圆有关的最值问题】7【题型9直线与圆的方程的应用】7【知识点1直线与圆的位置关系及判定】1 .直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形(4><Jd与r的关系d<rd=rd>r方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即a>o,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即则直线与圆相切；若无实数解，即<0,则直线与圆相离.几何法：由圆心到直线的距离d与半径，的大小来判断，当火，时，直线与圆相交；当仁时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【题型1直线与圆的位置关系的判定】【例1】（2023全国i三专题练习）直线1X+ny+1-n=0与圆C:（x-I）2+（y-2）2=9的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【变式1-11（2023秋高二课时练习）M（%o,yo）为圆炉+y2=1内异于圆心的一点,则直线%。+y0y=1与该圆的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交【变式1-2（2023春山东滨州高一校考阶段练习）。的半径为7cm,圆心。到直线/的距离为8cm,则宜线1与。的位置关系是（）A.相交B.相离C.相切D.以上均不对【变式1-3（2023全国模拟预测）已知曲线C:/+y2-6y+5=0,直线I：0x+y+-2=0,则直线I与曲线C的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（2023全国高三专题练习）设平面直线y=%+b与圆%?+,2=1相交，则b的取值范围为（）A.（-p）B.（-1,1）C.（-2,2）D.（-3,3）【变式2-1（2023北京高三专题练习）若直线X-y+1=0与圆/+V-2+1-Q=O相切，贝IJa等于（）A.2B.1C.2D.4【变式2-2（2023广东茂名统考二模）已知直线，:丫=履与圆。:（-2）2+。-1）2=1,则“0vkV苧”是“直线与圆C相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式2-3（2023全国高三专题练习）已知直线1znx+ny=1与圆O:/+y?=1相切，则Tnn的最大值为（）A.；B.1C.1D.2【知识点2圆的切线及切线方程】1 .圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.(2)求过圆上的一点(XO,必)的圆的切线方程：求法：先求切点与圆心连线的斜率4(后0),则由垂直关系可知切线斜率为-J,由点斜式方程可求得切线方程.如果40或左不存在，则由图形可直接得切线方程.重要结论：a.经过圆i+y2=2上一点P(XO,%)的切线方程为XOX+yoy=r.b.经过圆(X-a)2-(y-by)2=r2上一点P(XO,北)的切线方程为(Xo)(%。)+(0-b)(y-b)=r2.C.经过圆/+必+Dx+Ey+F=o上一点P(XoJO)的切线方程为XoX+%y+。注包+E匕卢+F=0.【题型3圆的切线长及切线方程的求解】【例3】(2023秋江西萍乡高二统考期末)过圆/+、2-2%-4、=0上一点(3,3)的切线方程为()A.2xy+9=0B.2x+y-9=0C.2x÷y+9=0D.2xy-9=0【变式3-1(2023春陕西咸阳高二统考期末)设。为原点，点P在圆C:(x-27+(y-1)2=1上，若直线OP与圆C相切，贝IJ1oP1=()A.2B.23C.13D.14【变式3-2(2023春陕西西安高一校考期末)过点(0,-2)与圆/+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为,则COSa=()A.-【变式3-3(2023安徽哈肥一中校联考模拟预测)已知点P在圆C:4-)2+y2=2(>o).上,点4(o,2),若IPAI的最小值为1,则过点A且与圆C相切的直线方程为()A. X=0或7x+24y-48=0B. X=0或7%24y-48=0C. X=1或24%-7y-48=0D. X=I或24x+7y48=0【题型4已知切线求参数】【例4】(2023春广东江门高二统考期末)若直线-y+3=0与圆/+y2-2%+2-Q=O相切，则Q=A.9B.8C.7D.6【变式4-1(2023全国高三对口高考)“b=”是“直线y=x+b与圆/+y2=1相切,的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式4-2(2023秋四川雅安高二统考期末)过点P(2,1)的直线/与坐标轴的正半轴交于4,8两点,当三角形QAB的面积最小时直线/与圆(+1)2+。一m)2=5相切，则实数机的值为()A.-1或4B.1或6C.0或5D.2或7【变式4-3(2023春江西高二校联考阶段练习)已知圆O"2+y2=%直线I的方程为-y+m=0,若在直线1t存在点P,过点P作圆。的切线P4PB,切点分别为点4氏使得乙4PB为直角，则实数m的取值范围为()A.(-8,-4)U(4,+8)B.(-,-4u4,+)C.(-4,4)D.-4,4【知识点3圆的弦长】1 .圆的弦长问题设直线/的方程为广履+b,圆C的方程为(X-XO)2+(y-%)2=2,求弦长的方法有以下几种：(1)几何法如图所示，半径八圆心到直线的距离4弦长/三者具有关系式：AD(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为4(天,凶),8(必,力).若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.若交点坐标无法简单求出，则将方程组J,1:产+"、22消元后得一元二次方程，由一元(xx0)2+(y则尸=厂二次方程中根与系数的关系可得M+孙,汨必或必+y2,yi-g的关系式，通常把I4用=+P,-不1或JB=1÷-2yy2叫作弦长公式.【题型5求圆的弦长与中点弦】【例5】(2023春贵州遵义高二统考期中)己知直线X-2y+3=0与圆C:/+y2-2%-6y+6=0交于4B两点,则BI=()a165A.45D.25【变式5-1(2023全国高三专题练习)己知圆CzX2+y2-4x+8y=O关于直线3%-2ay-22=O对称,则圆C中以住,一?为中点的弦长为()A.25B.5C.1OD.210【变式5-2(2023春内蒙古巴彦淖尔高二校考阶段练习)已知直线，与圆。:(工-1)2+丫2=9相交于48两点,弦AB的中点为M(0,2),则直线1的方程为()A.x+2y+4=0B.x+2y-4=0C.x2y+4=0D.x-2y-4=0【变式5-3(2023北京高三专题练习)已知直线y+1=m(x-2)与圆(X-I)2+(y-1)2=9相交于M,N两点.则IMNI的最小值为()A.5B.25C.4D.6【题型6已知圆的弦长求方程或参数】【例6】(2023春贵州高二校联考期中)已知直线/：X-上丫-5=0与圆0：/+丁2=10交于43两点且4B=25,则k=()A.0B.±1C.±2D.±3【变式6-1(2023广西玉林博白县模拟预测)已知圆C：x2+y2=4,直线1：y=kx+m,则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为()A. ±2B.±2C.±yf3D.±3【变式6-2(2023秋高二课时练习)与y轴相切，圆心在直线-3y=0上，且在直线y=上截得的弦长为27,则此圆的方程是()A.(x-3)2÷(y-I)2=9B. (x+3)2+(y+I)2=9C. (x+3)2+(y+I)2=9或(x-3)2+(y-I)2=9D. (x+3)2+(y-D?=9或(X-3)2+(y+1)2=9【变式63】(2023全国高三专题练习)直线y=kx+2与圆(-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点，若MN23,则k的取值范围是()a-j'jb-3<3c-yD.M【题型7直线与部分圆的相交问题】【例7】(2023春新疆乌鲁木齐高二校考开学考试)己知曲线y=左与直线y=代%+3)-1有两个不同的交点，则实数&的取值范围是（）a（黑）b（H）C./D.督）【变式7-1（2023北京海淀高三专题练习）已知直线±%+y+t=0,曲线C:y=Vf=，则”与C相切”是“£=一2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【变式72】（2023春江西宜春高二校联考期中）若过点P（2,4）且斜率为攵的直线/与曲线y=三记有且只有一个交点，则实数上的值不可能是（）244A.-B.7C.D.2453【变式7-3（2023春全国高二开学考试）直线y=2%+m与曲线y=5K恰有两个交点，则实数m取值范围是（）A.-4,4B.4,25）C.（-25,4D.-2,4【知识点4解与圆有关的最值问题】1 .解与圆有关的最值问题（1）利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.如图2-514，当直线/与圆C相交时，最小距离为0,最大距离为Ao=什d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；如图2514，当直线/与圆C相切时，最小距离为0,最大距离为AD二2八如图2-5-14，当直线/与圆。相离时，最小距离为Bp=d-r,最大距离为Af>=d+r.图2-5-4（2）利用直线与圆的位置关系解决最值（取值范围）问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值（取值范围）.对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.形如二匕心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.Xa形如K怨+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.形如(X-a)2+(y-Z)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最