专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题2.4直线的交点坐标与距离公式【八大题型】【人教A版(2019)【题型1求两直线的交点坐标】1【题型2经过两直线交点的直线方程】3【题型3由直线的交点求参数】4【题型4三线能围成三角形的问题】6【题型5两点间的距离公式的应用】8【题型6点到直线的距离公式的应用】9【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】11【题型8与距离有关的最值问题】12【知识点1两条直线的交点坐标】1.两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组t*；雪,若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线人：4x+8y+G=0(42+BHO),直线，2：4X+B2y+c2=0(+&0).方程组A1x+B,y+C1=O的解A1x+B1y+C1=一组无数组无解直线/1和，2的公共点个数一个无数个零个直线人和/2的位置关系相交重合平行【题型1求两直线的交点坐标】【例1】(2023江苏高二假期作业)直线+2y-4=0与直线2%-y+2=0的交点坐标是()B.(2,1)A.(2,0)C.(0,2)D.(1,2)解题思路解方程组2=o即可得解.【解答过程】解方程组图W1得仁，即直线X+2y-4=O与直线2x-y+2=O的交点坐标是（0,2）.故选：C.【变式1-1（2023江苏高一假期作业）直线2x+y+8=0和直线K+y-1=0的交点坐标是（）A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)【解题思路】直接解方程组可得.【解答过程】解方程组2%+y+8=0,X+y-1=0,得I"=©'即交点坐标是(.10),Iy=I0,故选：B.【变式1-2（2023秋高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）直线2%3y+10=OJ2:3%+4y-2=0；（2）直线nxy=n1,12nyx=2九.【解题思路】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系;（2）分类讨论九，解方程组可得答案.【解答过程】联立图；3第£二o°,解得，所以两直线相交，交点坐标为（-2,2）.（2）当n=-1时，Z1x÷y2=0,12.x+y2=0,联立：；二;方程组有无数组解,故两直线重合,当n=1时;1x-y=0,12'.x-y+20,联立%：；!（）,方程组无解,故两直线平行.当n±1联立:二二一，解得厂被，“n-1所以两直线相交，交点坐标为（三,意）.综上所述：当n=-1时，两直线重合；当n=1时，两直线平行；当n±1时，两直线相交，交点坐标为fn2n-1【变式1-3（2023江苏二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标:(1)h：2x+y+3=0,/2：x2y1=0；（2）Z/：%+y+2=0,Z2:2x+2y+3=0.【解题思路】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）.【解答过程】（I）解方程组仁3；1：二；得后;二;所以直线/与/2相交，交点坐标为（-1,-1）.（2）解方程组1tit12Unx2，得1=0,矛盾，方程组无解.所以直线力与/2无公共点，W2.【题型2经过两直线交点的直线方程】【例2】（2023秋天津西青高二校考期末）过直线i%-2y+4=0与直线"r+y+1=0的交点，且过原点的直线方程为（）A.2xy=0B.2x+y=0C.x-2y=0D.x+2y=0【解题思路】先求出直线Z为一2y+4=0与直线%r+y+1=0的交点坐标，然后可得出答案【解答过程】联立方程得=-2,y=1,即A与G的交点为（一2,1）又直线过原点所以此直线的方程为：X+2y=0故选：D.【变式2-1（2023春广东韶关高二校考期中）经过两条直线Aa+y=2,62%-y=1的交点，且直线的一个方向向量d=（-3,2）的直线方程为（）A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0C.3x-2y-5=0D.2x+3y-5=0【解题思路】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.【解答过程】联立直线A与h，解得：（J：；，所以直线kx+y=2,12z2%-y=1的交点为（1,1）,又直线的一个方向向量d=（3,2）,所以直线的斜率为故该直线方程为：y-1=-（x-1）,即2x+3y-5=0故选：D.【变式22】（2023秋广东广州高一校考期中）过两直线+y-3=0,2%-y=0的交点，且与直线y=?平行的直线方程为（）A. %+3y+5=OC.x3y+5=OB. %+3y-5=OD.%3y-5=O【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=gX平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.【解答过程】由：YV)解得:，则直线X+丫一3=0,2%一、=0的交点(1,2),又直线y=4%的斜率为5则所求直线方程为y-2=go-1),整理得-3y+5=0.故选：C.【变式2-3(2023全国高一专题练习)已知直线M%-y+1=0,/2:x-2=0,则过。和的交点且与直线3x+4y-5=0垂直的直线方程为()A.3%-4y-1=0B.3x-4y+1=0C.4x-3y-1=0D.4x-3y+1=0【解题思路】由于所求出直线与直线3%+4y-5=0垂直，所以设所求直线为4x-3y+m=0,然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m,从而可求出直线方程【解答过程】由于所求出直线与直线3%+4y-5=0垂直，所以设所求直线为4x-3y+m=0,由FNa;°,得忧；,即可和的交点为(2,3),因为直线4x-3y+n=0过点(2,3),所以8-9+m=0,得m=1,所以所求直线方程为4x-3y+1=0,故选：D.【题型3由直线的交点求参数】【例3】(2023秋广东广州高二校考阶段练习)直线3%-(k+2)y+k+5=0与直线乙+(2c-3)y÷2=0相交，则实数2的值为()A.k1或k9B.k1或k-9C.k1或9D.Z1且A-9【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.解答过程】因直线3%-(k+2)y+k+5=0与直线h+(2k-3)y+2=0相交，则3(2k-3)-k-(k+2)0,即(k÷9)(fc-1)0,解得k1且k-9,所以实数k的值为k1且k-9.故选：D.【变式3-1（2023秋.广东惠州高二校考期中）已知直线mx+5y-3=0与X-3y+n=0互相垂直，且交点为（p,1）,则m+p=（）A.24B.20C.18D.10【解题思路】首先根据两条直线垂直求m,再根据两条直线过交点（p,1）,代入后分别求p,几【解答过程】因为两直线互相垂直，所以m+5x（-3）=0,得m=15,直线为15x+5y-3=0,代入交点（p,1）,得15p+5-3=0,p=一再将交点（一卷，1）代入直线3y+几=0,即卷-3+九=0,=3+=所以m+n+p=18.故选：C.【变式3-2（2023高二课时练习）若直线H-y=k-1与直线ky-=2k相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（）AdBYC,0<c<D,<r<1【解题思路】先根据直线相交求Z的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可.【解答过程】若直线入一y=k-1与直线ky-x=2k平行或重合，则炉一1=0,解得A=±1,若直线Hy=k-1与直线ky-x=2R相交，可得k1且攵工一1,则有：联立方程FZm£1，解得建，即交点坐标（台,意），VIC-I户Vo由题意可得：夕；，解得OVkV；:誓>02IkT综上所述的取值范围为（0鼻）.故选：C.【变式3-3（2023江苏高二专题练习）若三条直线2x+y-4=0,%-y+1=0与x-y+2=0共有两个交点，则实数Q的值为（）A.1B.-2C.1或-2D.-1【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，V直线-y+1=0和直线2%+y-4=0不平行，直线-y+1=0和直线QX-y+2=0平行或直线2%+y-4=0和直线%-y+2=0平行，直线x-y+1=O的斜率为1直线2%+y-4=0的斜率为一2,直线%-y+2=0的斜率为0,.9.a=1或=-2.故选：C.【题型4三线能围成三角形的问题】【例4】（2023高二课时练习）若三条直线+y=0,x-y=0,%+y=3构成三角形，则的取值范围是（）A.a±1B.1,q2C.-1D.a±1,a2【解题思路】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得的范围.【解答过程】解：丁三条直线X+y=0,X-y=0,x+y=3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点.而直线+y=0和-y=0交于原点，无论为何值，直线+y=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线+y=3与另两条直线不平行，所以Q±1,故选：A.（变式4-1（2023高二课时练习）已知直线crx+>,+1=O,x+y+1=0和x+y+e能构成三角形，则a的取值范围是（）A.a-2B.a±1C.今-2且±1D.存2且a【解题思路】由三条宜线两两不平行，且不交于同一点可得.【解答过程】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若=0,则三条直线围成三角形，若0,则f1F3解得Q±1,Ia11a±1时，由丫：）U，得1二11，代入+ay+1=0得.一a（a+1）+1=0,Q=1或Q=IX十y十Q_U（y_IeI-j2,因此a-2综上：a±1且a-2.故选：C.【变式4-2（2023秋.新疆喀什.高二校考阶段练习）已知直线3-y-1=0,12:x+2y-5=0,5:-ay-3=0不能围成三角形，则实数。的取值不可能为（）A.1C. -2D. -1【解题思路】分析可得直线hG一定相交，联立两方程，求得交点坐标为（12）,当Q=O时，直线b为X=3,分析可得不满足题意，当0时，当直线A分别与直线小平行时，以及过直线4，。交点（1，2）时，均满足题意，分别求解，即可得答案.【解答过程】因为直线。的斜率为3,直线/2的斜率为-点所以直线h%一定相交，交点坐标是方程组二;的解，解得交点坐标为：（1,2）当=0时，直线，3与X轴垂直，方程为：X=3不经过点（1,2）,所以三条直线能构成三角形；当0时，直线&的斜率为：当直线/与直线/3的斜率相等时，即工=3n=g此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线/2与直线/3的斜率相等时，即二=-；=。=-2,此时这两直