专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题2.7直线与圆的位置关系【九大题型】【人教A版(2019)【题型1直线与圆的位置关系的判定】2【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】3【题型3圆的切线长及切线方程的求解】5【题型4已知切线求参数】7【题型5求圆的弦长与中点弦】9【题型6已知圆的弦长求方程或参数111【题型7直线与部分圆的相交问题】12【题型8直线与圆有关的最值问题】15【题型9直线与圆的方程的应用】18【知识点1直线与圆的位置关系及判定】1.直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与的关系d<rd-rd>r方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即a>o,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=o,则直线与圆相切；若无实数解，即<o,则直线与圆相离.几何法：由圆心到直线的距离d与半径，的大小来判断，当火，时，直线与圆相交；当足厂时，直线与圆相切；当冷r时，直线与圆相离.【题型1直线与圆的位置关系的判定】【例1】（2023全国高三专题练习）直线1x+my+1-m=0与圆C:（%-I）2+（y-2）2=9的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解题思路】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.（解答过程已知直线，:x÷my+1-n=0过定点将点（一1,1）代入圆的方程可得（一1一I）2+（1-2）2<9,可知点（一1,D在圆内，所以直线上无+my+1-m=0与圆。:（-I）2+（y-2）2=9相交.故选：A.【变式1-1（2023秋高二课时练习）M（XoJo）为圆炉+V=1内异于圆心的一点,则直线XOX+y0y=1与该圆的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交【解题思路】由题意可得诏+M<1,结合圆心到直线&x+%y=1的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【解答过程】由题意知MaOjo）为圆/+y2=1内异于圆心的一点,则诏+指<1，而圆：X2+y2=1的圆心到直线M）X+y0y=1的距离为d=/>1=r,故直线XOX+y°y=1与该圆的位置关系为相离,故选：C.【变式12】（2023春山东滨州高一校考阶段练习）OO的半径为7cm,圆心。到直线/的距离为8cm,则直线1与。O的位置关系是（）A.相交B.相离C.相切D.以上均不对【解题思路】根据圆与直线的位置关系即可得答案.【解答过程】OO的半径为r=7cm,圆心。到直线/的距离为d=8cm,贝如Vd,所以直线I与O。的位置关系是相离.故选：B.【变式1-3（2023全国模拟预测）已知曲线C:/+y2_6y+5=0,直线1aX+y+Q-2=0,则直线!与曲线C的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程得/+3-3)2=4,再求出直线I所过定点，判断定点与圆的位置关系即可.【解答过程】x2+y2-6y+5=。即/+(y-3/=4,故曲线C表示以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆.因为直线2的方程可化为(÷1)+y-2=0,所以直线，恒过点力(-1,2).因为C1=12+I2=2<2,故点4在圆C的内部，所以直线2与圆C相交，故选：C.【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】(2023全国高三专题练习)设平面直线y=%+b与圆/+V=相交，贝帕的取值范围为()A.(-,)B.(-1,1)C.(-22)D.(-3,3)【解题思路】利用圆心到直线I的距离小于半径列不等式，从而求得b的取值范围.【解答过程】易知圆/+y2=1的圆心为(O0),半径为,直线1%-y+b=0,因为直线y=X+8与圆/+y2=1相交，所以用黑=号VI,解得一<匕vP+(-1)*v2故选：C.【变式2-1(2023北京高三专题练习)若直线x-y+1=0与圆/+y2-2%+1-Q=O相切，贝IJa等于()A.2B.1C.2D.4【解题思路】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求Q的值.【解答过程】圆/+V-2x+1-Q=O化成标准方程为(-I/+y?=Q,则Q>0且圆心坐标为(1,0),半径为直线X-y+1=0与圆/+y2-2x÷1-=0相切，则圆心到直线距离等于半径，即：d=/1；黑2=塞=疝解得"2故选：A.【变式2-2(2023广东茂名统考二模)已知直线上丫=依与圆。:。一2)2+。-1)2=1,贝卜0vk<是“直线与圆C相交”的()A.充分不必要条件B,必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充要条件【解题思路】先利用直线，与圆C相交可得到O<kv?然后利用充分条件、必要条件的定义即可求解【解答过程】由圆C:Q2y+(y-1)2=1可得圆心(2,1),半径为1,所以直线I与圆C相交=圆心(2,1)到直线kx-y=O的距离d=<1,解得O<k所以"0<k<苧”是“直线E与圆C相交”的充分不必要条件.故选：A.【变式2-3(2023全国高三专题练习)已知直线1mx+Tiy=1与圆O:/+y2=1相切，则g九的最大值为()A.-B.-C.1D.242【解题思路】由直线和圆相切可得m2+n2=1,利用基本不等式即可求得答案.【解答过程】由于直线Amx+y=1与圆O:/+y2=相切，故圆心到直线/的距离为d=1,Jm2+n2=1,m2+n2故rnn巴y当且仅当m="=当时取等号，故选：B.【知识点2圆的切线及切线方程】1.圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.(2)求过圆上的一点(见,小)的圆的切线方程：求法：先求切点与圆心连线的斜率网原0),则由垂直关系可知切线斜率为-由点斜式方程可求得切线方程.如果A=O或不存在，则由图形可直接得切线方程.重要结论：a.经过圆+/=/上一点PaO,3的切线方程为XOX+y0y=r2.b.经过圆(X)2+(yb)2=产上一点P(x0,y0)的切线方程为(XO4)(%)+(y0-b)(y-b)=r2.c.经过圆/+y2+Dx+Ey+F=Q上一点PaOJO)的切线方程为XOX+%y+O土甘+E-丝产+F=0.【题型3圆的切线长及切线方程的求解】【例3】(2023秋江西萍乡高二统考期末)过圆/+y2-2%-4y=0上一点P(3,3)的切线方程为()A.2%y+9=0B.2x+y-9=0C.2x+y+9=0D.2%y9=0【解题思路】根据圆的一般方程得到圆心，从而得到直线PC的斜率，进而求出过点P的切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程.【解答过程】由/+y2-2x-4y=0得：(x-I)2+(y-2)2=5,则该圆的圆心为C(12),乂P(3,3)是该圆上一点，则直线PC的斜率为Apc=言=点所以过点P的切线的斜率k=-2,则过点P(3,3)的切线方程为y-3=-2(x-3),即2+y-9=0,故选：B.【变式3-1(2023春陕西咸阳高二统考期末)设O为原点，点P在圆C:(x-2+(y-1)2=1上，若直线OP与圆C相切，则IoP1=()A.2B.23C.13D.14【解题思路】由题意利用勾股定理即可求解.【解答过程】由圆C的方程可得C(2,1),故IOCI2=22+M=5,。为原点，在圆。:(工一2)2+6/-1)2=1上，OP与圆C相切，【变式32(2023春陕西西安高一校考期末)过点(0,-2)与圆/+y2一4一1=o相切的两条直线的夹角为,贝IkoSa=()A1B.叵C.=D.叵4444【解题思路】圆的方程化为(x-2)2+y2=5,求出圆心和半径，利用直角三角形求出Sin会由二倍角公式可得CoSa的值.【解答过程】圆/+/一4%-1=0可化为(%一2)2+严=5,则圆心。(2,0),半径为r=5;yi设P(0,2),切线为P4、PB,则PC=22+22=2或,P4C中,S呜=黑=磊，所以CoSa=I-2sin2=1-2X(磊)=-j.故选：C.【变式3-3(2023安徽合肥一中校联考模拟预测)已知点P在圆C:(%-d)2+y2=2(>0).上,点A(0,2),若IP川的最小值为1,则过点A且与圆。相切的直线方程为()A.%=0或7x+24y-48=0B.%=0或7%24y-48=0C.%=1或24%-7y-48=0D.X=I,或24x+7y-48=0【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据IP川的最小值为1,得到方程求出Q的值，即可求出圆的方程,再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.【解答过程】由圆C方程可得圆心为C(,O),半径r=,因为IP川的最小值为1,所以VS5IN-q=1,解得Q=会故圆c：(X-I)+y2=g.若过点A(0,2)的切线斜率存在，设切线方程为y=H+2,则号备I=方解得八一金所以切线方程为y=-(+2,UP7x+24y48=0；若过点A(0,2)的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点(0,0),所以切线方程为X=0.综上，过点A且与圆C相切的直线方程为X=0或7%+24y-48=0.故选：A.【题型4已知切线求参数】【例4】（2023春广东江门高二统考期末）若直线-y+3=O与圆/+V-2x+2-Q=O相切，则=（）A.9B.8C.7D.6【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.【解答过程】圆（x-1）2+y2=-i（>1）的圆心（1,0）,半径依题意，湍条=ki,解得=9,所以Q=9.故选：A.【变式4-1（2023全国高三对口高考）“=”是“直线y=%+b与圆/+y2=相切，的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出b值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【解答过程】若直线y=X+b与圆2+y2=1相切，则圆心（0,0）到直线y+b=0的距离d等于半径r,即詈=1b=±2,故前者能推出后者，后者无法推出前者，故“b=”是“直线y=X+b与圆/+V=1相切”的充分不必要条件.故选：A.【变式4-2（2023秋四川雅安高二统考期末）过点P（2,1）的直线/与坐标轴的正半轴交于A,8两点，当三角形OAB的面积最小时直线/与圆（+1）2+（丫一）2=5相切，则实数机的值为（）A.7或4B.1或6C.0或5D.2或7【解题思路】结合基本不等式求得当直线，的斜率攵=-决寸，三角形。48面积最小.结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得m的值.【解答过程】因为过点