专题16 已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型(原卷版).docx

专题16已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型题型一已知核心方程(隐性)先将隐性核心方程等价地转化为显性核心方程.【方法总结】(1)单参数法：设动直线尸M方程为y=M-o)+yo,联立直线与椭圆(抛物线)，解出点M的坐标为(4e)，Wk),同理(由核心方程代换)，得出点N的坐标为(CU),D(k),然后写出动直线MN方程，即/My)+g(4,y)=0,根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立),得到方程组')一°以方程组的解为坐标的点就是直线所过的g(x,y)=0；定点.(2)双参数法：设动直线MN方程(斜率存在)为y=区+，由核心方程得到大攵，。=0,把/用表示或把女用f表示，即©(x,y)+g(,y)=0(或y)+g(,y)=0),根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组"一°以方Ig(X,y)=0；程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.【例题选讲】例1己知椭圆C：1+方=1(>Z>O)的右焦点F(3,0),长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点8(0,1)的直线/与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点B在以线段WN为直径的圆上，证明直线/过定点，并求出该定点的坐标.规范解答I由题意得，C=小，5=2,2=>2+c2,a=2,b=1,椭圆C的标准方程为9+y2=1.(2)双参数法当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Ax+m(叫H),May),MX2,”).y=k-m,消去y,可得(4N+1)x2+8knv+4n2-4=0./=16(4&1而)>0,f+4y2=4,4w-4)乃+x2=77H，2=77T点3在以线段MN为直径的圆上，：.BMBN=O.4-十I4公HI则8MBN=(m,kx-my(x2,te÷w-1)=2÷1)xX2÷k(tn1)(x÷X2)÷(n1)2=0,4阳24(j12+1)4+1+(m-1)j+0w-1)2=0,整理，得5加一2/-3=0,解得加=一3B或加=1(舍去).直线/的方程为度="一/易知当直线/的斜率不存在时，不符合题意.故直线/过定点，且该定点的坐标为(0,一1).例2已知椭圆O：宗+=1(>b>O)的左、右顶点分别为A,B,点尸在椭圆。上运动，若/¾8面积的最大值为2小，椭圆。的离心率为今(1)求椭圆O的标准方程；(2)过B点作圆E：/+G，-2)2=r2(O<r<2)的两条切线，分别与椭圆O交于两点C,。(异于点8),当,变化时，直线8是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.规范解答由题可知当点P在椭圆。的上顶点(或下顶点)时，S阴8最大，=23,c11Spab=×2ab=ab=23,；j,=，=2,b=小,c=1,<cr-b2=c2椭圆O的标准方程为9+日=1(2)单参数法设过点8(2,0)与圆E相切的直线方程为y=k(x2),即收一)，-2攵=0,Y直线与圆E：«+()，-2)2=3相切，.d=-22k#2+=r,即(4-)F+8A+4-3=0.设两切线的斜率分别为佑，k2(kki)t则攵次2=1,设C(X1,y),Oa2,”),由,y=k(-1),抖袅1n(3+46)2-16后x+16后-12=0,c16后一12r18好一62k13+4后，gfv'_3÷4tf,小-3+4奸；8n一686612-122同理'"2=3+4:=4+3奸'.=3+43=4+36;12k-12&.一)-4+3，3+4。kcd×2-x8678后一64(好+1)4+36-3+43'直线CD的方程为，+3+4A?=4(tf+1)G-3+4At),k7jt.k1整理得y=4(后+1)“2(后+1)=4(>+1)("T4)直线Co恒过定点(14,0).【对点训练】1 .椭圆C：,+=1(a>b>0)的离心率为右其左焦点到点P(2,1)的距离为回.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/：y="+m与椭圆C相交于A,B两点(4,8不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.2 .如图所示，已知椭圆W：:+E=(>b>O)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点。到直线AB的距离为号，其中A(0,«),B(b,0).直线/：x=my+与椭圆M相交于C,O两点，且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C,D与点P不重合).(1)求椭圆M的方程；(2)证明：直线/与X轴交于定点，并求出定点的坐标.y,A3 .如图，已知直线/：)，=丘+1(QO)关于直线y=x+1对称的直线为,直线/,与椭圆E+y2=1分别交于点A,M和A,N,记直线人的斜率为心.(1)求&&的值；(2)当A变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.(x,y)=0,z、八以方程组的Ig。，y)=o；【例题选讲】题型二未知核心方程【方法总结】单参数法：设出动点可动直线的方程为，解出点M的坐标为(A(2),B(k)t解出点N的坐标为(CU),。伏)，然后写出动直线MN方程，即领X,y)+g(x,y)=0,根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组例1(2023全国I)已知A,8分别为椭圆氏+y2=13>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB=S,P为直线X=6上的动点，勿与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CQ过定点.I规范解答I(1)由椭圆方程E：7+y2=1(a>1)可得4一°,0),B(a,0),G(0,1),Ai=(a,1),Cfe=(m1).工沅G=q2-i=8,.*=9.椭圆E的方程为+y2=1.(2)单参数法由(D得4(-3,0),8(3,0),设P(6,yo),则直线”的方程为尸若义(x+3),即产*r+3),直线BP的方程为y=S(x3),即y=郛-3).联立直线AP的方程与椭圆E的方程可得q7÷j2=i*整理得+9)x2+6)枇+y=+3),-81=0,W-_II-3>÷27y3>÷27,1,W,1-F,=解得X=3或X=1+9.将X=一+9一代入y=jtr+3),可得y=6y,oM+9'点C的坐标为3)8+276y>÷9，j8+9,.同理可得，点同的坐标为5鲁)6Vo2贝)、4vo直线C。的方程为)，一2比4)'()H+9UG+1JI)3)®+273)行-网+9一%+13用一3、>,8÷13(3二M)I">÷1J3-32党4和,3(3二M)IX3j8+1J)3+13(3>)故直线CO过定点G，0).例2已知椭圆G：，+方=1(a>Q0)的右顶点与抛物线。2：y2=2px(P>0)的焦点重合，椭圆G的离心率啕，过椭圆G的右焦点尸且垂直于X轴的直线被抛物线。2截得的弦长为4i(1)求椭圆Ci和抛物线。2的方程；(2)过点A(2,0)的直线/与。2交于M,N两点，点M关于X轴的对称点为证明:直线MW恒过一定点.规范解答I(1)设椭圆G的半焦距为c,依题意，可得则C2：=40r,<4c=42,解得=2,b=y3,C=C代入，得y2=40c,HPy=±2ac,则有<：=£，<2=b2+c2,=1.所以椭圆G的方程为?+q=1,抛物线。2的方程为产8工(2)单参数法依题意，可知直线/的斜率不为0,可设/为x=ny-2.=my-2,v2=8消去X,整理得y2-8网v+16=0.设点M(X>,j),N(X2,J2)»则点M'(x,y),由/=(8/m)24x16>O,解得/nVI或m>1.y+2且有y+y2=8m,yy2=16,rn=ci-gi-所以直线MW的斜率如W=X2X868fn(y2-y)>'2>'1Q可得直线M1N的方程为y-y=(ax：),y2y即产一叶)厂驷曰=一1+"'-皿+”)+16=>广11y2-yy-yy2-yy2yyyy2y8y2-y(12).所以当?V1或m>1时，直线MN恒过定点(2,0).例3已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点M(m,2),其焦点为尸，且IMkI=2.(1)求抛物线。的方程；(2)设七为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：a-1)2+>2=1相切，切点分别为A,B,求证：直线AB过定点.规范解答I抛物线C的准线方程为X=一多所以IMF1=加+齐2,又4=2pm,即4=2p(2-Q,所以P2-4p+4=0,所以p=2,所以抛物线。的方程为V=4x.(2)单参数法设点E(0,)(r0),由已知切线不为y轴，设直线E4：y=kxty联立，消去y,可得d2+(2k-4)+2=0,因为直线EA与抛物线C相切，所以4=(2依一4>一4炉尸=0,即K=1,代入可得32-2x+2=0,所以x=r2,即A(d,2r).设切点5(的，y0)t则由几何性质可以判断点O、8关于直线E凡y=-+r对称，则当/二2=_Xo01(2t2出二用，解得'2f产=用即媾T上0产+1UIt=2P1直线AF的斜率为以F=含(胆1),直线B/的斜率为所以A"=履/，即A,B,尸三点共线.当f=±1时，A(1,±2),8(1,±1),此时A,B,夕三点共线.所以直线A8过定点尸(1,0).例4(2019全国In)已知曲线Cj=y,。为直线y=V上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4,B.(1)证明：直线AB过定点;(2)若以£(0,1J为圆心的圆与直线48相切，且切点为线段AB的中点，求四边形AOBE的面积.规范解答1(1)另类设从f,27»A(X,y),则=2y,Ji+1由于y=x,所以切线DA的斜率为项，故ry=M,整理得2g-2y+1=0.设8(x2,”)，同理可得2比22”+1=0,故直线A8的方程为2-2y+1=0.所以直线A8过定点(0,C11y=t-y(2)由(1)得直线AB的方程为y=fx+g.由<、可得f2仪-1=0,Xi1-v=2于是x+x2=2f,x=-1,y+y2=f(x+x2)+1=2F+1,AB=÷PXX2=#1+PXy(*+2)24xX2=2(P+1).设4,上分别为点。，E到直线AB的距离，则d=百7,d2=f因此，四边形AO8E的面积S=AB(d÷t2)=(2+3)r2+1,