专题12 范围问题模型(解析版).docx

专题12范围问题模型圆锥曲线中范围问题求解的基本思路解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系.圆锥曲线中范围问趣建立不等关系的基本方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用己知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.1.用函数思想解决的模型【例题选讲】2例1(1)若点。和点F(-2,0)分别为双曲线a一产=1(。>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则6>而的取值范围为.答案3+23,÷)解析由题意，得22=/+,即=小，设P(,y)tX3,FP=(x+2,y),IOPFP=+2)x+y2=2+2+5-1=9+g因为x3,所以访译的取值范围为3+25,+).(2)已知椭圆C：f+f=1的左、右焦点分别为尸|、F2,以尸2为圆心作半径为1的圆F2,P为椭圆C上一点，Q为圆尸2上一点，则IPQI+1PQ1的取值范围为.答案5,7J解析如图所示，PQ+IPQI=2°仍尸2|+俨。卢2。+|。川=6+1=7.又IPFII+P2P尸1+P同一I。尸2=61=5.,PQ+PQ的取值范围是5,7.故答案为:5,7.(3)在椭圆£+5=1上任意一点P,。与。关于X轴对称，若有Ah必1,则后鸿¾的夹角余弦值的范围为.1r2v2答案-1，3J解析设尸(，历，则。点(，一丁)，椭圆彳+5=1的焦点坐标为(一2,O),(2,0),VF>P1,-2+j1,结合+与="可得y2”,2故帝与=HPEQ=x2-2-=2-3y2=8二I加¾1=叱1+2+/)2-靖=1+2=-#efY【对点训练】721.已知尸I，尸2是双曲线，一g=1(>0,比>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果PF=PF2(r(1,3),则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是.1MaI-IPB1=2,1 .答案(0,31解析由双曲线的定义及题意可得解得I1P尸11=rP尸2,pf'=i0又IpB1+P"222c,PQ+P尸2=普+普22c,整理得e=<M=1+言，Y1<f3,*?%22_°212h1÷-r2,1<e2.又与=-1,0<3,故(XEW5.；双曲线经t1aaaa*过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0,3.2 .已知过抛物线Cyz=8x的焦点F的直线/交抛物线于P,Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S,则谶的取值范围是()A.(0,2)B.2,÷oo)C.(0,2D.(2,+)2.答案D解析由题意知，抛物线y2=8x的焦点厂的坐标为(2,0),直线/的斜率存在且不为0,设Iy=女(x-2),直线/的方程为y=A(-2).由'"'消去y整理得EF-4(2+2)x+43=0,Iy-Sx，4(F+2),x÷22(Ar÷2)段P(XI,y1),Q(x2,y2),Ro,1'o),S(x3,y3),则X-rX2=F,故Xo=-5-=p4vDkk.y>=-2)=p所以版>s=京=再5，直线OS的方程为y=百可，代入抛物线方程，解得3=f,由条件知F>0所以乎=d+2>2.选D.ATIUaIXo3.已知椭圆C7+F=1,P(a,0)为X轴上一动点.若存在以点尸为圆心的圆O,使得椭圆C与圆。有四个不同的公共点，则的取值范围是.3.答案(Vm解析因为圆。的圆心在X轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆。与圆。的四个不同的公共点两两关于/轴对称，设在X轴上方的两个交点为4(x,y),8(m,y2),直线AB的方程为.v=H+,与椭圆方程联立消去y化简得(4F+1)+8j+4b2-4=0,由WkbJ=642-4(42+1)(4Z>2-4)>0,得从V4F+1,此时为+刈=一元干，则+=网即+m)+28=悬,则4«的中点坐标为(一点%,WP?)，线段48的垂直平分线方程为)'WizT=一如3令v=o,得点P的横坐标"=一言$1,则=(4得"33所以一ZVaV不9炉(4F+1)_9_9V(4炉+I)?=MV不2.用建立不等关系解决的的模型【例题选讲】例2(4)已知椭圆C：y+y2=1的两焦点为尸,B，点尸(即，咒)满足。岑+)V，则IPn1+1PB1的取值范围是.答案22)解析由点Pa0,)，o)满足(Xy+><1,可知P(.v0,泗)一定在椭圆内(不包括原点)，因为=2,b=t所以由椭圆的定义可知IPFII+PF2v2=2i,又IPQ|+PF2FF2=2,故PA+IPF2I的取值范围是22).(5)已知直线/：y=区+1与圆G：f+0+1)2=2相交于A,3两点，且的面积取得最大值，又直线/与抛物线Q：=2y相交于不同的两点M,M则实数，的取值范围是.答案(-8,-4)U(0,÷)解析根据题意得到AGAB的面积为52sinO,当角度为直角时面积最大，此时aGAB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d=1,根据点到直线的距离公式得到=1=>1+F=(1+z)2=>F=3+2/,直线/与抛物线。2：x1=Iy相交于不同的两点M,N,联立直线和抛物线方程得到*一2丘2，=0,只需要此方程有两个不等根即可，J=4Zr+8z=42÷16>0,解得Z的取值范围为(一8,-4)U(0,÷).(6)过抛物线V=X的焦点F的直线/交抛物线于A，B两点，且直线/的倾斜角92去点A在轴上方，则IEI1的取值范围是()答案D解析记点A的横坐标是Xu则有IAF1=Ar+(=G+Af1cos")+；=3+AQcos6,HFI(Icos劣=；,IAfI=m二；s).由；<夕做得一1«0$代坐，2_22(1-cos6>)<4,%.Ms夕产?=1+察即|4同的取值范围是(；，1+阴.(7)抛物线C：j2=2"Mp>0)的焦点为4,其准线与X轴的交点为B,如果在直线3x+4y+25=0上存在点M,使得NAM8=90。，则实数的取值范围是.答案10,+oo)解析由题得0),一县0),TM在直线3x+4y+25=0上，设点小，布=Q+,眩=Q+,又N4M8=9(F,：破励=(1f)G+§+(3丁25=0,即252+150x+625-4"2=0,JO,即1502-4×25×(625-4p2)>0,解得PNIO或底一10,又pX),'p的取值范围是10,+).22(8)己知双曲线C：-=1(>0,比>0)的左、右焦点分别为F(-1,0),F2(b0),P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2,4,则即函的最小值的取值范围是.答案一公T解析设PQn,n)f则崇一5=1，即m2=a2(1+).又F1(-1,0),F2(UO),则即=(一1一小，-w),即2=(1一切，一)，PFPF2=w2+m2-1=w2+<r+p)-1=/(1+5+412-1,当且仅当=0时取等号，所以际港的最小值为/一1.由24,得;WaW；,故一W02-1<一土，即PFIPB的最小值的取值范围是一得一51(9)如图，由抛物线V=I2x与圆氏(-3)2+y2=16的实线部分构成图形0,过点P(3,0)的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，则H8的取值范围为()答案B解析由题意可知抛物线j2=12y的焦点为尸(3,0),圆(-3)2+y2=i6的圆心为E(3,0),因此点尸，尺七三点重合，所以照|=4,设83),yo),则由抛物线的定义可y2=12x,知IPBI=M)+3,由719,得(x-3)2+1Zv=16,整理得W+6x7=0,解得处=1,(X3)2+=16X2=-7(舍去)，设圆E与抛物线交于C,。两点，所以XC=XD=1,因此0x1,又IAB1=HH+8P=4+即+3=沏+7,所以IAB1=M)+7£7,8,故选B.【对点训练】4 .已知Pa0,yo)是椭圆C¾+y2=1上的一点，Q,B是C的两个焦点，若苏丽<0,则刈的取值范围是()Af-26哈f.23鸣f.3四D(一必四V3,3JdI3,3JvA313JuA3,3J5 .答案A解析由题意可知，F(-3,0),F2(3,0),则QR丽=(M)+5)(xo-5)+*=+%-3<0,点尸在椭圆上，则此=1一条故焉+(1?-3<0,解得一¥<xo智，即刖的取值范围是(一半，噌.6 .己知直线y=1a+t与圆f+(y+1)2=1相切且与抛物线Ci2=4y交于不同的两点M,M则实数，的取值范围是()A.(-,-3)U(0,+)B.(一8,-2)U(0,+)C.(-3,0)D.(-2,0)7 .答案A解析因为直线与圆相切，所以j=1,即R=产+2/.将直线方程代入抛物线方程并整理得2-4Ax-4=0,于是/=16F+16/=16(r2+2/)+16>0,解得r>0或长一3.故选A.8 .(2017全国I)设A,8是椭圆C：y+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足NAMB=120°,则小的取值范围是()A.(0,1U9,+)B.(0,3U9,+)C.(0,1U4,+)D.(0,3U4,+)6.答案A解析当0V“V3时，焦点在X轴上，要使C上存在点M满足NAMB=I20。,=小,即那小则,tan600,解得OVmWI.当机>3时，焦点在)，轴上，要使C上存在点M满足N4M8=120°,Mtan60o=3,即黑三小，解得m29.故机的取值范围为(0,1U9,+).7.如图，抛物线E：f=4y与M：f+0，-1)2=16交于A,8两点，点尸为劣弧B上不同于A,8的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点M则APMN的周长的取值范围是()A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)7.答案B解析由题意可得，抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点，故WM等于点N到准线丁=一1的距离，又PN丁轴，故IPN1(x2=4y+WM等于点尸到准线y=-1的距离，由1,得)=3,又点P为劣弧ABjr÷(y-1/=16上不同于A,8的一个动点，所以点尸到准线y=-1的距离的取值范围是(4,6),又IpM=4,所以APMN的周长的取值范围是(8,10),选B.228 .已知点P是椭圆总+=1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，尸卜巳分别是椭圆的左、右焦点，。为坐标原点，若点M是NRPB的角平分线上的一