专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版(2019)【题型1空间向量概念的理解】2【题型2空间向量的加减运算】4【题型3空间向量的线性运算】6【题型4由空间向量的线性运算求参数】8【题型5向量共线的判定及应用】11【题型6由空间向量共线求参数】14【题型7向量共面的判定及应用】16【题型8由空间向量共面求参数】18【知识点1空间向量的概念】1.空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)长度或模：向量的大小.(3)表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母,b,c,表示；若向量。的起点是4,终点是8,也可记作靠，其模记为或由I.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量。长度相等而方向相反的向量，称为。的相反向量，记为一Q共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于任意向量都有0a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量：(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1空间向量概念的理解】例1（2023春高二课时练习）下列命题中是假命题的是（）A.任意向量与它的相反向量不相等B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C.如果Id1=0,则d=6D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【解题思路】由零向量的定义可判断AC,由向量的性质可判断BD.【解答过程】对于A,零向量嬴勺相反向量是它本身，A错误；对于B,空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C,如果同=0,则d=6,C正确；对于D,两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.【变式1-1（2023江苏高二专题练习）下列说法正确的是（）A.任一空间向量与它的相反向量都不相等B.不相等的两个空间向量的模必不相等C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项：利用单位向量的概念可判断D选项.【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.【变式1-2（2023秋高二课时练习）给出下列命题：若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；若空间向量出族满足同=b,则d=E：若空间向量沅，n,户满足沅=亢，n=p,则沅=/；空间中任意两个单位向量必相等；零向量没有方向.其中假命题的个数是（）.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断；由单位向量的定义可判断的真假；根据零向量的规定可判断的真假，即可得出结论.【解答过程】假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量2与B的方向不一定相同.真命题.向量的相等具有传递性.假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1但方向不一定相同，以不一定相等.假命题.零向量的方向是任意的.故选：D.【变式1-3（2023秋高二课时练习）给出下列命题：零向量没有方向；若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量I满足闷=B1,Ma=bi若空间向量范元,户满足沅=n,n=p,则济=p；空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为（）A.4B.3C.2D.1【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等.但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但中向量G与E的方向不一定相同，故错误；命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同，故不一定相等，故错误.故选：D.【知识点2空间向量的线性运算】1 .空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法+b=OA+AB=OBOaA减法ab=OA(X：=CA数乘当Z>0时，a=O=PQ;当2<0时，a=OA=MN;当2=0时，Aa=O*/。/a(>0)(<()a1OP小运算律交换律：+b=b+0:结合律：+(b+c)=(+b)+c,(a)=()a;分配律：(-)a=a-a,a-b)=a-b.【注】（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.（3）空间向量加法的运算的小技巧：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2空间向量的加减运算】【例2】（2023春高二课时练习）在四面体。4BC中，而+荏-3等于（）A.OAB.ABC.OCD.AC【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.解答过程瓦5+而一而=65+而+近=砺+丽=而.故选：C.【变式2-1（2023春江苏连云港高二校联考期中）正方体力BCO-&%C1D1中，化简荏+前-彳B=（）A.CjjBB.西C.CDD.西【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】AC1=AD-AC1=CD.故选：C.【变式2-2（2023春高二课时练习）在空间四边形ABCD中，连接AC,BD，若工BCD是正三角形，2DE且E为其重心，则荏+：前一I反一同=()A.ABB.2BDC.OD.【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.取BC的中点为E则:而=BF,又因为E为A8CD的重心，即。F上靠近尸的三等分点，IDE=DF,则荏+工近一海一而=而+而一而一而=而+而一而=7故选:C.【变式2-3(2023全国高三专题练习)空间四边形48C。中，若E、边上的中点，则下列各式中成立的是A.EB+BF+EH+GH=0B.EB+FC+EH-EG=0C.EF+FG+EH+GH=0D.EF-FB+CG+GH=0【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】画出图形，如图所示，：E、尸、G、”分别为A8、BC、CD、DA边上的中点，：.FC=BF,对于A,丽+丽+丽+丽=而+前+而=诟+而+丽=丽：对于B,EB+FC+EH-EG=EB+BF+(EH-EG)=EF+GH=EF-EF=0：对于C,而+丽+丽+丽丽+丽+丽+丽=丽+前=2而；对于D,'EF-FB+CG+GH=EF+FF+CG+GH=EF+FC+CG+GH=EH.故选B.-AD=O.G、”分别为AB、BC、CD、DA=而,【题型3空间向量的线性运算】【例3】（2023春高二单元测试）若4B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（）A. AB+2BC+2CD+DCB. 2AB+2BC+3CD+3DA+ACC. AB+DA+BDD. AB-CB-i-CD-AD【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解答过程】对于A,屈+2阮+2而+反=（而+丽）+瓯+而）+（而+而）=前十而;对于B,ZAB+2BC+3CD+3DA+AC=2（AB+BC）+3（CD+DA）+AC=3AC+3CA=0；对于C,AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=Oi对于D,AB-CBCD-AD=（AB-而）+（CD-CB）=DB+BD=0.故选：A.【变式3-1（2023秋新疆昌吉高二校考期末）已知正方体A8C0-A8'C'Zr,点E是AC'的中点，点广是4E的三等分点，且Ar=TEF,A. AAi+-AB+-AD22C.-AA;+-AB+-AD266则都等于（）.B. +-AB+AD222D.-AAi+-AB+-AD366【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得而=3荏，AE=AA;+A7E,ArE=ArCt,ArC=布+利，ArDf=AD,ArB7=ABf代入而=X病+：种）化简即可得出答案.【解答过程】如图所示,由于4F=(eF,故不=(荏，AE=AAiArE,ArE=ArCttArC=ArDt+ArBffArDf=ADfArBf=AB,F=V47+47C7)=A47+7(7+7D7)332/361 51/»">1119=-AA'+-(AB÷AD)=-AA'+-AB+-AD,36、)366故选：D.【变式3-21(2023秋山东威海高二统考期末)在平行六面体ABCD-A1B1GDI中，点E满足荏=丽*+福+：丽，则()A.3B1E=B1C1B.3BE=2B1C1C.B1E=3B1C1D.2B1E=3B1C1【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用当作为起点的向量来表示，然后整理即可.解答过程由荏=_赤+砧+丽得瓦万-瓦X=_1(瓦否-瓦彳)一瓦彳+1(瓦/一瓦彳)，整理得3乖=瓦瓦-瓦否=硒*=瓦乙.故选：A.【变式3-3(2023秋安徽黄山高二统考期末)如图，在三棱柱ABC-4第传1中，E、尸分别是BCCC1的中点，G为的重心，则襦=()A. -AB+-AC3321C.-AB+-AC-AA13321B. -AB+-AC+-AA13321D.-AB-AC+-AA13321【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.【解答过程】解：由题意可得：GF=GE+EF1一1=-AE+-BC.32111,1=-×-(AB+AC)+-(BC+BB1-)I11=+i(4C-45+F¾)6621 一2'一”,1i-一»=-B+-AC+-BB13321=-Iab+Iac+-aa;.3321故选：A.【题型4由空间