专题06 椭圆模型(解析版).docx

专题06椭圆模型椭圆秒杀小鹿常用结论(I)椭圆定义：MFI+MF2=2a(2a>F2).如图(DQ)点P(X0,找)和椭圆示+笈=1(>8>0)的关系Pa0,IyO)在椭圆内0*士修1；P(X0,No)在椭圆上=我+g=1;P(X0,No)在椭圆外Q%土如图(5),椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为IAB1=管，通径是最短的焦点图(5)图(6)图(4)焦点三角形：椭圆上的点Pao,光)与两焦点B,B构成的APFiB叫做焦点三角形.若2v2=PF,r2=PFFPF2=f),NQ尸2的面积为S,则在椭圆7+方=Im>b>0)中如图(6)：APBF2的周长为2(+c).S="ta.J2(5)如图(7)P为椭圆，+g=1(>b>O)上的动点，F1，尸2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大.92(6)P为椭圆5+1=13>b>0)上的点，F.,B分别为椭圆的左、右焦点，则尸到焦点的最长距离为。土C，最短距离为Q二C72如图(8)设P,4,8是椭圆5+g=3>Q0)上不同的三点，其中4,8关于原点对称，则kpAkpB=,2如图(9)设A,8是椭圆”+方=1(>Q0)上不同的两点，P为弦A3的中点，则心夕炀1.【例题选讲】例I(1)(2019全国m)设尸|,尸2为椭圆C：会+4=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若AMK尸2为等腰三角形，则M的坐标为.答案(3,石)解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以Q为圆心、焦距为半22径长的圆上，即在圆(X+4)2+y2=64上.因为点M在桶圆为!"击=1上，所以联立方程可20解得彳A=3,j'=1T5.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3,F).(2)已知椭圆E：，+：=1，直线/交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(一/1),则/的方程为()A.2x÷9y-10=0B.2-9y-10=0C.2x+9y+10=0D.2x9y+10=04x÷x22直线/答案D解析设Agy)tB(X2,”)，则普+=1,f+f=1两式作差并化简整z®is22114X1÷X2H_11_1r理得J=_GX_1,，而即+”2=-1，y+>2=2,所以X2-X9yi+”zJX2XI的方程为y-1=x+),即2-9y+10=0.经验证可知符合题意.故选D.(3)设椭圆，+3=1(>Z>O)的左右焦点分别为尸1、尸2，上下顶点分别为A、B,直线A尸2与该椭圆交于A、M两点,若NFIAB=I20。，则宜线BM的斜率为()A.(B乎C.坐D.3答案B解析由题意，椭圆苏+1=13历0),且满足NQAF2=120。，如图所示,则在AABO中，IOAI=b,AF2=at且NOAF2=60。，所以a=2b,不妨设6=I,则47=2,所以C=Ma2-c2=小,则椭圆的方程为"+y2=1,又由40,1),F2(3,0),所以乂尸2号，所以直线AB的方程为y=一当KH,联立方程组),=一8+1Y+.J,整理得7小-83x=O,解得x=0或X=半，把X=半代入直线y=一阴+1,解得y=-,即又由点8(0,-I),所以的斜率为Om=74'故选B.(4)已知P为椭圆C：，+(=1上的一个动点，Fi,尸2是椭圆C的左、右焦点，。为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若IPQ1PBI=与，则d=.答案也解析法一：因为点P在椭圆上，所以有IPB1+PBI=4,又因为IPQHPF2?4IPFiP+1PFd2-IFF223S=y,由余弦定理可得COSNF1P尸2=2'PFPF=4,所以有SinNRPP2=乎，所以AFiPF2的面枳为S=JX等*=IX2x%,解得加=余，因为点P在椭圆上，所以XP=余.所43j.Pjy以过该点的椭圆的切线方程为3-+勺=1,即为x+y=市.所以原点。到直线的距离为.近Md=2.mrnv法二：设P(m,)，则切线方程为学+才=1,即3切x+4"y-12=0.所以原点。到该12巾23勿尸切线的距离d=9zr-+d6因为点PS2,)在桶圆上，所以q+b"=1,所以有-=3q-,所以d=.因为IPQIIP尸2=差所以有*(n+1)2+n2J(w-1)2÷w2=吊，即有(4+；川)+2m(4+；加2)-2j=4(62=,，解得6-62=笔所以d=,=142,(5)已知直线MN过椭圆，+丁=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线尸Q过原点。与例N平行，且与椭圆交于P,。两点，则篇=.答案22解析方法一特殊化，设MM1X轴，则IMM=斗=I=1PQp=4,箫=3=昭方法二由题意知产(-1,0),当直线MN的斜率不存在时，IMN1=工-=5,俨。=2力=2,则惊J=25;当直线MN的斜率存在时，设直线N的斜率为鼠则MN的方程为y'y=A(x+1),=÷1),M(xty),Na2,J2),联立方程"2I9整理得(2必+1)2+42x+22-2y÷r=,以222-2I-=0,J=82÷8>0.由根与系数的关系，得x+x2=-耒+.为M=2再7'则IMW=N1+d、(由+必)2_4汨&=1+J,直线PQ的方程为y=H,P(3,y3),Q(4,y),则二_17op2(1+N)解得f=TT诟，y2=TP则OP2=后+%=+2-又IPQI=2|。乃，所以PQ2=4OP28(1+F),p,1f211.05份卜IfC11-O5-1+2A2'所以IMM-2/2.环上，IMM一22.(6)已知点Pa,y)在椭圆功+需=1上，F,B是椭圆的两个焦点，若尸2的面积为18,则NF1P&的余弦值为.3X2V2答案解析椭圆卷+也=1的两个焦点为Q(0,-8),F2(0,8),由椭圆的定义知|尸尸1|+IPF2=20,两边平方得IPQF+PF2F+2IPF1IIPF2=2()2,由余弦定理得IPa12+pbF-2PF1PF2cosZF1PF2=162,两式相减得2|PR|PB|(1+cos/QP&)=144.又ShPFiF2=1PFHPF2IsinZF1PF2=18,所以1+cosRP尸2=2SinNQP&,解得COSNF1%=,.(7)在平面直角坐标系XOy中，直线x+¾，-25=O与椭圆若+1=1(a>Z>O)相切，且椭圆C的右焦点尸(c,0)关于直线y=的对称点E在椭圆C上,则OE尸的面积为()A.B.坐C.1D.2÷2y-22=0,答案C解析联立方程可得2+且=消去人化简得32+2")y2-8尻>，+2(8-2)=0,由4=0得2庐+/一8=0.设k为椭圆C的左焦点，连接尸E,易知尸E/,W/2d2从所以FEA.ER又点尸到直线/的距离d=-f=-t所以IEF1=,|F£=2a-EF=,y<r+b-aaa在Rs尸E尸中，I尸E2+EF2=IFFI2,化简得2出=,代入2从+02-8=0得"=2,=2,所以IM=尸£=2,所以S3防=S""=1.(8)如图所示，A1,Az是椭圆Cz+j=1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点MS不与4,42重合，点N满足N4_1MANA2-1MA2,则上吐=().M:S答案C解析由题意以及选项的值可知：上位是常数，取M为椭圆的左顶点,SNA4由楠圆的性质可知N在X的正半轴上，如图：则A1(0,2),4是(0,2),M-3,0),由OMON=OA1可得ON4-V-OMAA2OMAiA29-4,=3-4-3【对点训练】1.已知椭圆言+9=1上的两点A,B关于直线2-2y-3=0对称，则弦AB的中点坐标为1 .答案(2,解析设点A(,j1),83,也)，弦AB的中点M(X0,y0)t由题意得式相减得'6+；=依因为点4B关于直线2-2y-3=0对称，所以勖=：二：=-1,故蓑一修=6即M>=4yo又点M(Ab，yo)在直线212)T=0上，所以xo=2,yo=2t即弦A8的中点坐标为(2,3).2 .已知椭圆C：9+y2=>0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM与直线/的斜率之积为()3-a1-9-C9-2-B.9-A.3 .答案A解析设直线/:y=k-h(kG,Z0),A(xt川)，B(X2,”)，Mg,m).将y=kx+b代入9x2÷j2=m2,得(k2+9)2+2*bx+庐一加2=(),故XM=A；A-=-广；。'Nw=履时+b=产黑9,故直线OM的斜率人尸言=*所以h)Mk=9,即直线OM与直线/的斜率之积为一9.4 .2为椭圆去+=1上一点，小尸2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作尸”_1_尸|尸2于点Hf若PFI_1PF?,则IPM=()254A.8-3B.9-4D.5 .答案D解析由椭圆费+=I得"2=25,6=9,则。=4片一从=，259=4,FE=2c=8.由椭圆的定义可得IPQI+PBI=2a=10,VPF±PF2,PF2+PF22=64.2PFPF2=(PFI+IPF2D2-(PFi2+PF22)=IOO-64=36,PFPF2=18.又SPFiF2=1IPF1IIPF2I91IPRHPBI=习FdPH,=4*故选D6 .已知AABC的顶点B,C在椭圆号+y2=1上，顶点4是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则AABC的周长是()A.23B.6C.43D.124 .答案C解析依题意，记椭圆的另一个焦点为R则C的周长等于B+AC+BC=AB+AQ+8H+CFI=(IAB+8R)+(C+CQ)=45,故选C.5 .设a,尸2为椭圆卷+1=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PQ的中点在y轴上，则隅的值为()5545A.应B.百C.§D.§5.答案B解析由题意知o=3,=5.由椭圆定义知仍产+PEI=6.在用尸2中，因为PF1的中点在y轴上，。为尸B的中点，由三角形中位线的性质可推得?&_1X轴，所以由K=C时可得IPF2|=，=/所以IPF11=6-PB=呈所以1品=含故选B726.已知椭圆C，+3=1(而协>0)及点以0,幻，过点8与椭圆相切的直线交X轴的负半轴于点A,尸为椭圆的右焦点，则NA8/=()A.60oB.90oC.120oD.150°6 .答案B解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y="+,(Q0),与椭圆方程y=kx-a9联立1y2忆+1消去y整理得(从+a2ki)x2+2ka3-a4a2b2=0,由4=(2k?)24(