专题03 离心率范围(最值)模型(解析版).docx

专题03离心率范围（最值）模型解决离心率范围（最值）问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域（最值）的方法将离心率表示为其他变量的函数,求其值域（最值），从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件,或一些隐含条件或椭圆（双曲线）自身的性质构造不等关系，从而求解.【例题选讲】例8（41）过双曲线也一方=1（>0,Q0）的右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,B两点，与双曲线的渐近线交于C。两点，若A8jCD,则双曲线离心率e的取值范围为（）答案B解析将X=C代入,一方=1得），=4，不妨取A（g（c',所以IAB1=当.将x=c代入双曲线的渐近线方程y=卷，得y=吟，不妨取Cc,胡,一情，所以IeD1=警.因为IABINIIC£）|,所以手×,即。c,则h2*c2,即/-a2c2,即殍2*,所以,所以e,故选B.（42）已知椭圆C：今+方=1（>/»0）的右焦点为尸，短轴的一个端点为P,直线/：4x3y=0与椭圆C相交于A,B两点.若HF1+8F=6,点尸到直线/的距离不小于也则椭圆离心率的取值范围是（）A.（0,IB.0,坐JcH乎d*白阴答案C解析如图所示，设尸为桶圆的左焦点，连接AFtBF,则四边形AFBF是平行四边形,6=AF+BF=AF+Aj=2,4=3.取P(0,b)fVP到直线I：4x+3y=0的距离不小,*16+95,解得b>2.c<9z4=5,0.椭圆E的离心率范围是(o,坐.故选C.(43)已知B,B是椭圆*+方=1(">">0)的左、右焦点，过B且垂直于X轴的直线与椭圆交于A,8两点，若AABB是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是()A.(y21,+)B.(0,啦1)C.(2-1,1)D.(2-1,2÷D答案C解析由题意可知，4,8的横坐标均为c,且A,8都在椭圆上，所以今+指=1,从而可得y=dA,不妨令A13,-£).由“8尸1是锐角三南形知N此pyd-aAFF2<45o,所以IanZAFF2<1,所以IanNABB=T=K1，故F_<1，即+rr1c1acIe-1>0,解得e>5-1或eV1,又因为椭圆中，0<e<1,所以出一1<ev1.故选C.(44)已知B，尸2分别是椭圆C+9=1的上下两个焦点,若椭圆上存在四个不同点尸，使得APQB的面积为小，则椭圆C的离心率的取值范围是()a(2'吗b'OC.停1)D.停1)答案A解析R,尸2分别是椭圆C*+1=1的上下两个焦点，可得2c=2五三,短半轴的长：1,椭圆上存在四个不同点Pt使得APQ尸2的面积为小，可得;x2Wf乂诉沙，可得加一4?+3<0,解得m(1,3),则椭圆C的离心率为：e=亚mR,卑.(45)已知椭圆+1=13>Z>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F2(cf0),若椭圆上(Tb'存在一点P使-=-,则该椭圆的离心率的取值范围为.sinZPFiF1sinNPF1Fx思路点拨在APQB中，使用正弦定理建立IPBIPF2之间的数量关系，再结合椭圆定义求出IPBI,利用-c<PBI4+c建立不等式确定所求范围.答案(忘一1,1)解析根据已知条件NPF1F2,NPBR都不能等于0,即点尸不会是椭圆的左、右顶点，故P,R,B构成三角形，在APF用中，由正弦定理得国SinZPF1F2=一,则由已知，得厂J=1二，即IPaI=nPF2,.根据椭圆定义，IPB1SinZPF2F1PF2PFi+PF2=2«,.由解得，俨"d=2-=因为-c<P3V+c,所以一1+£C1c<-<÷c,b1<2d1<cr2ac-c1,所以/+24c-02>,即/+2«>,解得e<a+c一忘一1或e>近一1,又e(0,1),故椭圆的离心率e(应一1,1).(46)己知双曲线C：，一g=1(a>O,b>0)f若存在过右焦点户的直线与双曲线。相交于A,8两点，且行=3成，则双曲线C的离心率的最小值为.答案2解析因为过右焦点户的直线与双曲线。交于A,8两点，且#=3晶，故点A在双曲线的左支上，8在双曲线的右支上，如图所示.设A(Xy),B(X2,竺)，右焦点F(c,0),因为AF=38尸，所以c-i=3(c-X2),即3念一x=2c,由图可知，xa,X2>a,所以一xN4,3短之34,故3制一x%,即2cN44,故eN2,所以双曲线C的离心率的最小值为2.(47)已知双曲线方程为/-£=1,若其过焦点的最短弦长为2,则该双曲线的离m+4b'心率的取值范围是()A.(1,停B.,+oo)C.(1,D.(冬+)答案A解析过焦点的最短弦长有可能是2a或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为空=2h,标=加+4%,2介4>2,所以过焦点的最短弦长为更=.2b=2,an2+4an2+4即b2=m2+4>2,e=-=""三=力¥=+,0<-,所以1<1+-»aw7+4b2Vh2b22b221<1+y,即e(1,*.故选A.22(48)椭圆M：点+g=1(o>b>0)的左、右焦点分别为B,F2,P为椭圆M上任一点，且IPBHP尸2的最大值的取值范围是2，3b2,椭圆M的离心率为e,则e十的最小值是答案一当解析由椭圆的定义可知IPA1+PBI=24,|PF4|P尸2(气此力2=标，.2b¾23/,即242c2W3c2,.g舄，即摹普令yw=一5则AO在坐，坐!上是增函数，.当e=坐时，e取得最小值坐一啦二一坐.(49)已知点A(-1,0)和8(1,0),动点P(x,y)在直线/：y=x+3上移动，椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()正迎25加A5B-5c5D-5答案A解析方法1不妨设椭圆方程为，+号=13>1),与直线/的方程联立2十苏_J=X+3,1,消去j(22-1)x2+62x+10f12-a4=0,由题意易知J=36a4-4(22-I)(Ioa2)0,解得,所以6=2=3米,所以e的最大值为坐.方法2A(-,0)关于直线/：y=x+3的对称点为H(3,2),连接交直线/于点P,则此时椭圆。的长轴长最短，为依阴=2小，所以椭圆。的离心率的最大值为4=杀故选A.22(50)己知双曲线点一=1(>(),b>0)的左、右焦点分别为B,F2,点P在双曲线的右支上，且IPBI=6PB,此双曲线的离心率e的最大值为.7I72答案5解析由定义，知IPQ1IPP2=2又IPRI=6PB1,.PQ=彳4IPBI=§".当尸，F1,尸2三点不共线时，在APF1F2中，由余弦定理，得CosZFiPF2=144AIPAF+IPAF-IQBF25"十25"*3725,如2_37_J2Zf?Df?.2PFiPF2J22-1212e,即一2525cosZF|PF2,*cos2歹ZFiPF2(-1J),5.当P,Fi,尸2三点共线时，.PQI=6PB,Xe=?=77M综上，e的最大值为:还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式.【对点训练】47.过椭圆C：1+E=1(e>0)的左顶点A且斜率为2的直线交椭圆C于另一点8,且点射影恰好为右焦点F.舄4<；,则椭圆C的离心率的取值范围是()2ZRP2一,247.答案C解析由题图可知，|AFI=+%6F=F-,于是&=屋=KrF又不宠q,aIAr1aarc)J1”.1a2c2所以铲五诟<4,化简可得e<,从而可得T<e<,故选C.48.已知双曲线C：再j-)2=1(a>0)的右顶点为A,0为坐标原点，若IoAIV2,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.停+oo)B.(1,|)C停,D.(1,2)48.答案C解析双曲线C言-y2=1(X)中，右顶点为A(Ti,0),/.O=1÷T!<护工即坐<e<5.故选C.49.已知椭圆EW+g=1(>6>0)的右焦点为凡短轴的一个端点为M,直线/：3-4y=0交椭圆E于A,4B两点.若HP1+1BF1=4,点M到直线/的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是()A.,乎B.(0,IC当OD京1)49.答案A解析设左焦点为R),连接产M,FoB,则四边形AFBR)为平行四边形.Ah4VAF+BF=4,A+AF0=4,.a=2.设(0,h)f则M到直线/的距离4=3石，1WX2.离心率e=5=xJ号e(°,坐，故选A50.已知双曲线方一片=13>0,比>0)的左、右焦点为尸I、B，双曲线上的点尸满足4|足+PF2>3FiF2恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为()D50.答案C解析由OP为尸PB的中线，可得4PR+PBI=8IPoIN3M"2,因为IQB14IFiF2I4=2c,可得846c,即双曲线的离心率为：1<e§.故选C.51.已知点尸2分别是双曲线宗一g=13>0,b>0)的左、右焦点，过B且垂直于X轴的直线与双曲线交于M,N两点，若称标>0,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(2,2÷1)B.(1,2+1)C.(1,3)D.(3,÷oo)r2v2N51.答案B解析设尸i(c,0),F2(c,0),依题意可得了一g=1,得到y=",不妨设Mg?),4a号则7=(-2c,S1-2c,)=4c,2-2>0,得到4层/一(/"2)2>o,即小÷c4-62c2<0,故e4-6e2-1-1<0,解得32*x5Ve2V3+2啦，又e>1,所以1V/<3+22,解得1VeV1+5.52 .正方形ABCP的四个顶点都在椭圆1+E=1(>>O)上,若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离53 .答案B解析设正方形的边长为26，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以用>c,的四个顶点都在椭圆宗+方=1(>b>O)上，所以票+作=1京+与=+不三£，整理得-3÷1>0,/呼=3”；所以0"咛.故选B.54 .如图，椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是4,4,Bi,%,焦点分别为R,F2,交于P点，若/以出2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为.53.答案pj,1）解析-设椭圆的方程为7+力=1(曲6>0),ZBiBA2为钝角可转化为颁2,而所夹的角为钝角，则（",/?）（c,一力）<0,fb2<ac,即/一2<讹，故（力+彳>。即C.邓一v5-1,/5-1/+e-1X）,e>22-或e<_2，又OVe*c1，所以15-<e<155 .已知尸i,B分别是椭圆C5+*=13*0)的左、右焦点，若椭圆。上存在点P使N