矩阵微分法.docx
矩阵微分法在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分(导数)，如对表达式而来说，由于4和8都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。一、相对于数量变量的微分(自变量是数量变量，如时间t)定义1对于n维向量函数()=1(r)a2()an(t)定义它对t的导数为da(t)£da(Z)da1(t)da11(t)'出1dtdtdtJ(1.1)定义2对于n×m维矩阵函数«1)(0«12(04。=，;=K1%")/2(”ann(0定义它对t的导数为血血式，)T(E)Adtdtdtdtdtda,&如“UJ/rm1dtdtdt.(1-2)我们不难看出,上述两个定义是一致的。当矩阵A(t)退化为向量a初寸，定义2就变为定义I0再退一步讲,当向量a(t)退化为数量函数a阴寸,定义1就变为一般的导数定义。这说明这样定义是合理的，是统一的。根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式dUqdIdi(I-3)/A(f)=等4f)+4半为变量f的数量函数M)必)=誓B(，)+A(,)华这些公式都很容易证明，现证明最后一式(1-5),设矩阵和B(t)分别为nm和mI矩阵证：4(f)=au(t)d12(r)ain(t)a：心。“2(，)氏/)_Ixa)%b12(t).b1(t)B=bi(t)b2(t)(r)1(0加(f)粼(0a；SbIQ)aj(t)b(t)=Ixa)也(。1<CSb从而根据矩阵导数定义2,有.A()3(3='国也证毕例1：求XIX对？的导数，其中Xa)X=«11anA=对称常系数矩阵习题1.若2.若3.若注：dXrdtdtAXR珠X+A%=X7AX+XAX=(XAX)r+X1AX=X1AX+X1AX=2XAX-(XX)=2XAXdt(1-6)XZX和X7AX都是数量函数且A为对称阵，它们等于自己的转置。证明上式。Xa)吨,证明上式。X1a)2(t-XAX求力二、相对于向量的微分（自变量是向量X）1、数量函数的导数设函数/（X）=f（%,w,，月）是以向量X为自变量的数量函数，即以n个变量X为自变量的数量函数。定义3xi我们将列向量1J叫做数量函数f对列向量X的导数,记作dfdX磔第dxn.±gradV/dfdX½<笠dX2例2.求函数/（x）=x,x=x：+/+片对X的导数解：根据定义或_dX(1-7)2、向量函数的导数q(X)a(X)=设函数品(*)，x=(1,2,n)定义4nm阶矩阵函数M(X)应“(X)darXdXntn.(1-8)x1x丽(X)t(X),xn称之为m维向量函数/（X）对n维列向量X的导数。mn阶矩阵函数-丽(X)xx加式X）-此=aix血(X)dXx.8%(X)1JJmn(1-9)称之为m维向量函数Q（X）对n维横向量V的导数。从定义可看出而T(X)da(X)dXdXdar(X)daXdXdX(1-10)若WX）和HX）是m维列向量函数，“X）是数量函数，X是m维列向量，有以下3个运算公式da(X)±b(X)darX1dbrX=±dXdXdX加法运算公式(1-11)dU(X)(X)dX数乘运算公式(1-12)da(X)b(X)(IX"(X)-b(X)+耐(X)”(X)dXdX乘法运算公式(1-13)证明最后一个公式，前两个公式请同学们根据定义去证明。证：为简明起见隐去Xx1(ab)(arb+xi笆、dx-a(X)b(X)=(a'b)aTb+abdXxixixi(arb)a,rb+acbnZ1dXndn>af.dab+bxixi=+誓xxx1证毕dX其中X为n维列向量解：根据定义4G(X)=O1O市(X)dxrdXdxvdXr同理dX(XA)例4：求dX(1-14)注意：移乘作除要加转置(1-15)nm维常数阵J&，%，4为n1列向量因此xi=xz%Xa-(A=-(a-(Xa2根据定义"PUdP“其中每一个列向量didX,dX因此有木二+出VI"(1-16)-（xtA=A(1-17)推论：若2为nxn方阵，有d）例5:求d'7Xn维列向量，Bmn矩阵解：设类似可得："八）（1-18）例6:求二次型X1X对X的导数，4为对称方阵解：根据乘法运算公式（113）d/dXf,d(AX)(XAX)=-(AX)+-XdX、)dX'7dXd(XAr=AX+1.=AX+AtXdX=(A+A)x=2AX(1-19)-(xA)=2AXdX',根据（I-Io）式da,X)da(X)dX1dXr.da(X)da,XdX=1_dX（两边同取转置）AX)=乐XTAX)=2AXf=2XA例7:求函数47X对X的导数，其中力Ixn行向量，Ann常数阵，Xn维列向量解：AX=WAXy=XTA)-(AX=(XA)=ArCr"X''"X，)因为47X是标量，所以它与它的转置相等例8:求方程AXM的最小范数的平方解，其中4是mn阶常数矩阵，其秩为m（m<n）,b为mX1常数列向量。解：这实际上就是求数量函数力=XJX=X1在约束条件研=6的条件极小值，采用拉格朗日乘数法，作函数FX=X-X+,AX-b)"(X)(IX=2X+A%=0X=ArA-解出2代入约束方程AA1=b2其中AA是mm常数矩阵，根据给定条件，秩为m,其逆存在因而有：2(AAT)”代入X的表达式X=(AA,'b可知所得的解是最小范数解。三、相对于矩阵的微分(自变量是矩阵)1、数量函数的导数设函数/=/(A)是以Pxm矩阵4的PXm元素%为自变量的数量函数，简称以矩阵A为自变量的数量函数。例如/=4+(1+42)4：+(%+”22+423)%+“21+。22=k1俨a2=arAa=f(A)APaq02a21)a2a21)定义:PXm矩阵%M_叫S6ffM1dA(1-20)<dapm,"(A)称为数量函数尸对矩阵4的导数，记作dA例9：求/('MX"X对矩阵A的导数，其中向量X是定常的,H是对称的。解：/玉唱Zia根据定义有.(1-21)2.向量函数的导数设函数Z(A)其中Z1(A)Z2(A)Z")SZ%】am是以矩阵4为自变量的n维列向量函数,定义：M(A)氏(A)3.矩阵函数的导数设函数Z1(A)t>'定义：F(A)=U1(A)dZ(A)dAAU)；(1-22)(F(A)F(A)观”JF(A)=dAF(A)F(A)叫'%J(1-23)其中每个分块矩阵(i,(A)里1rF(A)da*1i>J淄¢(A)如daU)ex7v例10：X是n维列向量，y是m维列向量，A是nm矩阵，求：解：根据矩阵乘法XAY=YYaijxiyjji/=>da；Xiyj根据数量函数导数的定义XAYA="XY1(1-24)顺便说一下，y是一个数量函数，与它的转置相等，即XIy=7yY=y'R所以又有(YArX=XYA(1-25)四、复合函数的微分公式1设=w),丫=MX),则dfdYrdf=,dX(IXdYdfdfdYdXdYdX7(1-26)证明：由给定条件有“df.dY.df=-frdYdY=-dXdY和dX将上式结合起来df_dfdYd×dYdX打dfdY.vdf7-,dX=>dYdXy=y(x),则df=dfdYfdXXdXcY(1-27)df_dffdYdXdXYdX
