第22讲 移植法化难变简 细推敲动中寻定.docx
第22讲移植法化难变简细推敲动中寻定典型例题【例1】设单位向量。力的夹角为锐角,若对于任意的(x,y)(x,y)x3+yB=1,y.0),都有Qx+2y,-=,则。的最小值为.15【例2如图221,已知倾斜角为a的直线经过抛物线V=8x的焦点尸，且与抛物线交于两点A3.若为锐角，作线段A8的中垂线机，交X轴于点尸.求证:IFP-FPcos2a为定值.【例3】已知椭圆cJ+=1(a>b>O),6(1,1),6(0,1),“书，小岑这4点中恰有3点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线I不经过点鸟且与C相交于A,8两点，若直线鸟A与直线鸟B的斜率之和为T,求证：/过定点.强化训练1 .在AABC中，N8=60°,AC=石，则AB+2BC的最大值为.22 .已知/(/)='一一4(x>1M>0),f(x)的图像与X轴的交点为A.若对于/(力图像x-1上任意一点尸，在其图像上总存在另一点。(点RQ异于点4),满足AP1AQ,且IAPI=IAQI,则a=.解答过程【例1】设单位向量a的夹角为锐角,若对于任意的(x,y)e(x,y)x+y"=1,DO,都有x+2y,则ab的最小值为【解析】【解法1】设单位向量的夹角为以|x+yb=1,.t/+Y?+2孙COSe=1,BP(x+ycos)2+(ysin)2=1.QQ又x+2y,令x+2y=,则O效J1r1.1515.x=f-2y,代人X2+y2+2xycos=,得到关于y的一元二次方程(5-4cos6>)+(2cos<9-4)ry+-1=0,该方程有解,.A=(2COSe4)2产一4(5-4COS仍(r一1)0,S-4ccv064111又;该等号能取到，4*,笑.解得Jcos6.当cos=4I-COS2(915416.ab=abcos=cos.-481715,x15,y2i5满足条件.。山的最小值为4【解法2】设。=(1,0)/=(cos,Sine),夹角为仇则xa-yb=(x+ycos仇ysin).xa+yb=1,/.x2+y2+2盯COS=1,+2y|-=,X2+4y2+4y恒成立.1515.2+49+4期,任+y2+2x)cos6)于是60T28cos",J9f+431恒成立.6。_28COS口,(49Xr4y孙I1又49.r+4y-2y=28当且仅当49x2=4y2时等号成立.xyxy.60128COS琼98,.cos64：.ab的最小值为4【例12如图221,己知倾斜角为。的直线经过抛物线V=8X的焦点尸，且与抛物线交于两点A,B.若为锐角，作线段AB的中垂线机，交X轴于点P.求证:IFPI-IFPcos2a为定值.【解析】【解法1】设A(jc1,y),8(%,%)，AB的中点为M(Npyo).过点M作X轴的垂线,交X轴于点N,如图22-2所示.二.AB的中垂线/M的方程为y-%=-今（%-入0）,点P（%j+4,0）.于是IFP1-1尸P1CoS2=PF2sin2a=2Psina=2PV在Rt-MPN中，tan工-a二一,则&二_,.PNI=4.（2）PN4IPN1因此0-0cos2a=8为定值.【解法2设A(XpyJ,8(%2，%)，48的中点为M(XO,%),直线机的方程为yf=TXTO).将AB两点坐标代人抛物线方程,得两式相减,整理得"¾X+%)=8,玉一A2又XO=殳,=上芋，代人式有z2%=8,即y0=y,22k44将M(j,No)代人直线AB方程中，有一=k(x0-2),.Xo=-+2.kk41(4.,.直线用的方程为y=Xf2kkk令y=0,得X=后+6,.,.尸出+6,0).可得I尸P-产P1CoS2。=|尸P1(I-COS2a)=2/P1SiMac2(4Ak2=2FP-=2+6-2-J=8,即|。|一|"cos2为定值.+kk)+kIe=z-t-1rczy【解法3】直线48的参数方程参数为一'，将其代入抛物线方程y2=8x中,y=sin1,整理得si-8fcosa-16=0,设方程的两个根分别为不心8coscr-16.ti+t2=,格=r2-sinasina由直线参数方程参数的几何意义，可知同K¾,%gm,则r1>02<0,.直线加是AB的垂直平分线且直线m与直线AB交于点则IAMI=I5M.即Z11FMI=-r2+FM,.FM|=.2sina一IFMIIMP1如图22-2所示,在Rtz.PMF中，cosa=,sincr=,FPFP代人式,整理得IMP=41PF,/.|FPI-IFPcos2a=FP(1-cos2a)=2FPsin2a=2FPFP2MP2父=O.2V2【例3】已知椭圆C=-+J=1(4>8>0),(I/),g(O,1),abP3®MI封这z31,24h2J4点中恰有3点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/不经过点?且与C相交于A,B两点，若直线鸟A与直线的斜率之和为-1,求证：/过定点.【解析】(1)由于月月两点关于y轴对称，故由题设知C经过A，鸟两点，1113屏二1+a1,解得=14b2'"242,故的方程为。三+y2=.b2=.4-又由-+3>f+知，C不经过点6,.点/在C上.crba4b(2)【解法1】设直线鸟4与方的斜率分别为配七.如果/与轴垂直,设/:X=九由题设知r0,且r<2,可得4,8的坐标分别为，-t2-2/4尸+2则/-Z-'-一，得"2,不符合题设.从而可设1y=Ax+"z(m1),将y=Ax+机代人+y2=1得4(4攵2+1)d+8初比+4nr-4=0,由题设可知A=16(4Z?-/+)>o,设A(石,乂)8(电,、2)，则玉+%=-Skm4w-44F7T,X,X2=4F7i_y1-1y2-1_Ax1+w-1Ax2+w-1_2r1x2+(/?7-1)(x1+X2)DKt+Ac9=H-F-由题设K+k2=-1,(2+1)x2+(m1)(+x2)=0.a,.,、4厂一4/1、-Skm_S,C.m+即(2&+1)-+(m-1)-=0,解得k=4k+14K+12(x-2).当且又当机一1时，>(),于是1y=空元+而，即y+1=【解法2】设直线/的方程为x=，nr+，A(x1,y1),B(x,y2).联立方程可得(根2+4)>2+2mny+2-4=O.直线/与椭圆交于AB两点，.A="2一2+4>o,由韦达定理可知2mn,+必=一亦，"产n2-4m2+4,k+kp/=-+-=-1EX2即(加+2mjy1y2+(n-m+m)(ji-2=0.将式代人式化简得n2-m2-2(m+n)=0,即(加+)(一加-2)=0.即一7-2=0或加+=0(舍去，此时直线/过鸟点).将式代人式可得：«<2,直线/的方程为x=5-2)y+="(y+1)-2y,即直线/恒过定点(2,-1).【解法3设直线的方程为y=Zx+1,直线68的方程为y=&x+1，其中k1+k2=-.由4得(42；+1)x2+8Z1X=0,解得X=0或X=-48是不同的两点，二.占。左2,从而K;.瓯*二8()(4幽-2)=8(2-+1)2W046+1-44+1-(412+1)(4+i)-(4+i)(%+1)工££4公+14A2÷1即直线AB的斜率为k=7-!等士''+4+142+14k1k2-1直线AB的方程为186I瓯)y-IHz=XHz42+14kik2-42+1)即y+1=4空2-1i8(1÷2)-242+1,y+1=4k,k2-42+1y-(-1)=!1-2),又一!=!7<04"2T4k"1(2+1)2直线I表示过点(2,-1)且斜率为负值的直线，即直线/过定点(2,-1).【解法4设直线P2A的方程为y=t+1,直线P2B的方程为y=(-1-)x+1,直线AB的方程为y=h+b,过点鸟的椭圆的切线为直线y=1.则经过这4条直线交点的二次曲线系方程为(y-0r-1)y+(+1)x-1+(y-x-)(j-1)=O,展开可得(1+)y2-aa+1)x2+(1-2+(Z?+1)y-(1-k)x+1+M=O.2.椭圆r+y2=过这些交点，比较系数可得I-U=O,2+2(Z?+1)=0,2=1k直线/:y=履1-2&=-1-2)1.b=-2k即直线/恒过定点(2,-1).【解法5若直线/的斜率不存在，不妨设直线/的方程为X=Xo则即直线/的方程为x=2.此时AB两点重合(即坐标为(2,0),/符合条件.222考虑特殊位置，当点A与点g重合时，=-1,直线/的方程为y=-x+.尤=2联立方程'得定点为(2,-1),猜想动直线/恒过定点(2,-1).Iy=T+1下面由一般情况进行验证:设直线/的方程为y=A(x-2)1,A(APyy=k(x-2)-y联立方程If2消去y可得(1+4k2)x2-8kQk+1)x+16(+1)=0.了十)-1.,fc,.jraw-rza8Z(2Z+1)6k(k+V)C由韦达定理可得X1+x2=7Ax2=11-1+4/1-1+4产/直线/与椭圆交于A,8两点，.A=64公(2攵+1)2-64(公+女)(+4攵2)=一女>0即k<O.1+%=上1"12"2(Z+1)值占西IXM2)将代入可得k+%B=2k-2(k+1).氏+?=21Cui=T,6(+)K：.猜想成立，即直线/恒过定点（2,-1）.强化训练1.在4ABC中，ZB=6OC=3,则AB+2BC的最大值为.【解析】【解法1】/8=60。,AC=G,由正弦定理可得一二二"一=捶一=2,sinsinCsinBsin60o：.a=2sinA,c=2sinC=2sin(A+B)=sinA+3cosA:.c+2a=5sinA+3cosA=27Sin(A+¢)其中O=arctan-y-.'(c+2a)max=2"【解法2】由余弦定理。2=/+62-2讹858,把条件代入得/+/一双=3.则原
