文科 第六章 数列 第3节 数列的综合.docx

第3节数列的综合题型76等差数列与等比数列的综合1. （2013江苏19）设4是首项为。公差为d的等差数列（dw（）,儿是其前刀项和.记2二萼，wN*,其中C为实数.（1）若C = 0 ,且如b2r ®成等比数列，证明：S衣=力般N ）；（2）若也是等差数列，证明：c = Q.1 .分析（1）利用a,d将外表示出来，然后根据如为/4成等比数列，得到。与的关系，可验证5欣="5小（2）先由仇也也成等差数列，得到关于C的等式，求得C的值后再代入验证.解析 （1）由c = 0,得打= a +n 29d? （4 又因为4也也成等比数列，所以即。+ =a a + d，化简得12一2/ = 0.22 J因为dwo,所以4 = 2。.因此，对于所有的机£N*,有3=加2”.从而对于所有的3 £ N * ,有 Snk = （nky a = n2k2a = n2Sk.（2）设数列出的公差是4，则2=4+（- 1）4,即孚=2+（一1）4，£心,代入鼠的表达式，整理得，对于所有的wN*,有ir +cdn = cd1 -b）.令4 = 4一2",8 = 4-4一 + 2乩。=0（4-），则对于所有的wN*,有22 /A3 + B2+cd = D. （*）在（*）式中分别取 = 1,2,3,4,得A+3 + cd =8A + 4B-t- led. = 27 A + 9B + 3cd1 =64A + 163 + 4c%，7 A+ 35 +cd1=0,（X）从而有（19A + 5B + c4 =0,21A + 5B + M =0,（3）由得A = 0,cd = -53,代入方程，得3 = 0,从而c=0，即4一，" = 0,2仇一4 一+ gd = 0,c4 = 0.若4 = 0 ,则由4 一 gd = 0 ,得d = 0,与题设矛盾，所以dwO.又因为cd| = 0，所以c = 0.2. （2013福建文17）己知等差数列。的公差1 = 1 ,前九项和为S“.（1）若1,%,%成等比数列，求由 ;（2）若臬>/%，求出的取值范围.2.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解.解析（1）因为数列4的公差d = l,且1必7成等比数列，所以a；=lx（q+2）,即一q2=°,解得4 = 一1或4=2.因为数列也的公差d = 1,且臬 >，所以5q+10>"+8q,即4+M10<0,解得-5 < % < 2 .3. （2013天津文19）已知首项为方的等比数列”的前项和为SgeN） 且-2S2,S3,454成等差数列.（1）求数列%的通项公式；I 13（2）证明 S+不,，N ）. 63.分析（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前九项和，根据函数的单调性证明.解析（1）设等比数列4的公比为q.因为-2s2区,454成等差数列，所以邑+ 2S2 = 4s4-SS即S4-S3 = S2-S4,可得2%= 一%于是4 二*=-g.又因为q = |,所以等比数列的通项公式为4=3 （ 1Y-I_Z 1V,-i 3 =（-1 ） 2 I 2） v 7 T、，为奇数, S“=l 2），S“+J = 1 -n+ 1-2”（2一1），为偶数.当为奇数时，s+'随的增大而减小，所以s +当为偶数时，S+l随的增大而减小，所以二生s”S.一邑 12I 13故对于"eN*,有S+ W，.S 64. （2013湖北文19）已知"是等比数列4的前项和，S4, S2, S3成等差数列，且% +。3 +% = 18 （1）求数列“的通项公式；（2）是否存在正整数，使得S.2013?若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在,说明理由.4.分析 首先由S4, S?, S3成等差数列，且生+。3+4=-18,求得和公比夕，进而得通项公式；然后根据等比数列的前项和公式列出关于力的不等式，通过解不等式进而做出判断.解析 （1）设等比数列4的公比为4,则qW0,qW0.S-,-S. = S3 工，一q夕2 -4/ = aiq,- 3,由题意得2432即解得a2 +/ +4 =18,qq（l + q + q） = -18,q = -2.故数列4的通项公式为4 = 3x（2）i.（2）由（1）有S 二3l-（-2f1-（一2）=1-（-2）.假设存在，使得S“ 2 2013,则1一（一2）"2 2013,即（一2）" W-2012.当为偶数时,（2）">0,上式不成立;当人为奇数时,（一 2）"=-2一 2012,即2 2 2012,即几为11.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为川 = 2Z + l,k£NM25.5.（2014天津文5）设是首项为q,公差为-1的等差数列，S 为其前项和，若&, S?, S4成等比数列，则。产（）.A. 2B. -2C. D. 226. （2014新课标H文5）等差数列“的公差为2 ,若。2M4，4成等比数列，则4的前几项和Sn =（）./I、/八（ + 1）- 1）A.（ + l）B. n（n -1） C. D.227. （2014北京文15）（本小题满分13分）己知是等差数列，满足 =3,= 12 ,数列也满足a=4,仇=20,且也凡是等比数列.（1）求数列q和也的通项公式；（2）求数列也的前项和.7.解析 （I）设等差数列4的公差为d ,由题意得1 二幺二幺=区工二3 .所以%=4+（-1）" = 3（ = 1,2,）.设等比数列也,一%的公比为夕，由题意得3=2二幺二型± 二 8 ,解得q = 2 .所以b“_%=（b）qn7=2”7.从而b64-3v 7bn =3 + 2"t =）.（II）由（I）知勿=3 + 21（ = 1,2）.数列3的前项和为一（力+ 1）,数列2"t1 一 2"3的前几项和为lx= 2”一1.所以数列也的前项和为一（力+ 1） + 2”-1.1 22评注本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基8. （2014湖北文19）（本小题满分12分）己知等差数列满足：4=2,且q , a2, 生成等比数列.（I ）求数列q的通项公式；（II ）记S”为数列的前项和，是否存在正整数，使得S” > 60 + 800 ?若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.9. （2014重庆文16）（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）已知是首项为1，公差为2的等差数列，S表示%的前项和.（I）求。及 s；（II）设也是首项为2的等比数列，公比满足q2（% + l）q + S4=0,求也的通项公式及其前项和7；.10. （2016北京文15）已知4是等差数列，/?是等比数列，且2=3, 4=9,% = 2 （1）求%的通项公式；（2）设,1=+/?，求数列g的前项和.11. 解析 （1）等比数列2的公比4 = g = g = 3,所以4=% = 1,4=4夕= 27.023q设等差数列4的公差为。.因为q =仄=1,4 =2=27 ,所以 1 +13d = 27 ,即 d = 2 .所以二2- 1（ = 1,2,3,）.（2）由（1）知，an=2n- ,2=3"点 .因此=2-1+3” .从而数列。的前项和 S = l + 3 + 5 + - + （2 l） + l + 3 + - + 3i =（1 + 2- 1） 1 3"7 3"-1-+= " +.21-3212. （2016全国乙文17）己知是公差为3的等差数列，数列也满足e=1, % = !，?或 z+"+="（1）求的通项公式；（2）求/?的前项和.11 .解析 （1）由题意令。,也什+。“+=2中 =1，即哂+%=，解得4 =2 ,故4 (2)由(1)得(3一1)*1+2+=叨即 二；" (£ N),1门故也是以=1为首项，夕二a为公比的等比数列，即a二.(1、1 1-3W ； 31所以也的前项和为s = v =YTy'1-312.(2016四川文19)己知数歹U %的首项为1, S为数列an的前n项和，Sn+1 = qSn +1 ,其中夕0, ne N*.(1)若%, %，4+生成等差数列，求数列4的通项公式；2(2)设双曲线/一二二1的离心率为e，且仆二2,求e：+e：+ e；.an-12 .解析 (1)由已知，Stl+l = qSn +1 , Sn+2 = qSn+i +1 ,两式相减得到。+2 =.又由S2=qS+l, q=l得到。2=4，故+=殁对所有1都成立.所以数列“是首项为1,公比为4的等比数列.从而。广/1 (w N)由2，3，出+见成等差数列，可得2%= +%+。3，所以 3=24，故4=2.所以 4=2T(cN)(2)由(1)可知，a” = qi.2 所以双曲线V 一二二1的离心率e, = J1 + 4： = Jl + q2g).由 4 = J1 + 5 = 2 ,解得 q = C .所以 4+始+ 始=0 + 1)+ (+夕2)+ + q2(f - 二 + (1 +/+ + q2"i)= += +7).13 . ( 2016天津文18 )已知4是等比数列，前项和为Sn (ne N*),且（1）求的通项公式；（2）若对任意的 eN*,勿是1%和1鸣4+1的等差中项，求数列（-1）"的前2项和.11213.解析 （1）数列%的公比为q,由已知有=-r，解得夕=2,夕=T.4 %q axq-又由S“二小W = 63知夕工一1,所以4（1 - 26）=63,解得 ，所以-q1-2a“ = 2T（cN）（2）由题意得a=y（log2, +10g26Z/j+1） = 1（10g22/，_，+log22n） = 7?-y，即数列 乙乙4是首项为公差为1的等差数列.设数列（-1）”汇的前项和为7；,则& =（ 一 6+0：） + ,+ （笈 I + 片”） = 4 +4+ 处=2帅：凡）二2 几214. （2017天津文18）已知%为等差数列，前项和为S.（£N）2是首项为2的等比数列，且公比大于0,2+&=12也=%2q, Sn =1