专题18 计数原理 （教师版）.docx
专题18计数原理1 .【2019年高考全国In卷理数】（1+2）（1+彳）4的展开式中.N的系数为A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】由题意得9的系数为C：+2C；=4+8=12,故选A.【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.2.【2018年高考全国II卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是I111A.B.C.D.12141518【答案】C【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两个不同的数，共有C*=45种方法，其和等于30的有3种方法，分别是7和23,11和19,13和17,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为3二乙，选C.45153 .【2018年高考全国In卷理数】（/+：）的展开式中一的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由题可得卜2+：）的展开式的通式为7；X=C；（%2了T（I）=G2"V03"令10-3r=4,得尸=2,所以展开式中小的系数为C；x22=40.故选C.4 .【2017年高考全国卷理数】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A.12种B.18种C24种D.36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C：种方法，然后进行全排列，由乘法原理.，不同的安排方式共有C：xA；=36种.故选D.【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：按元素（或位置）的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组.注意各种分组类型中，不同分组方法的求解.5.【2017年高考全国I卷理数】（1+4）（1+x）6展开式中/的系数为XA.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】因为（1+x）6=1,（1+x）64,（1+x）6,而（1+x）6展开式中含x2的项为X2X212=15x2,4（1+x）6展开式中含V的项为3c%4=i52,故所求展开式中/的系数为XX15+15=30,选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的.每项乘以第二个二项式的每项，分析含产的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易r错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的T不同.6.【2017年高考全国In卷理数】（x+y）（2x-y）的展开式中Vy3的系数为A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】（jv+y）（2x-y）'=/（21一）1+y（2x-y）,由（2x-y）,展开式的通项公式I.1G（2工广（一»可得：当r=3时，x（2x-y）S展开式中dy3的系数为c=x22（-1）3=-40;当=2时，y（2x-y）S展开式中的系数为cj23（T）2=80,则/V的系数为8040=40.故选C.【名师点睛】（I）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和厂的隐含条件，即小，均为非负整数，且论，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.7 .【2019年高考浙江卷理数】在二项式（+x）9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是.【答案】16&5【解析】由题意，（+x）9的通项为4=CK3）9-"r（r=0,1,29），当尸=0时，可得常数项为7I=（2）9=162；若展开式的系数为有理数，则尸=1,3,5,7,9,有ZZ,几共5个项.故答案为：16J»5.【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“辕指数''不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.8 .2018年高考全国I卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有C：=4种选法，从6名学生中任意选3人有Cj=20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有204=16种，故答案为：16.【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有2名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.9 .【2018年高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为.3【答案】10【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有C：=10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有C；=3种，33因此所求概率为二.故答案为：.101010 .【2018年高考浙江卷）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）【答案】1260【解析】若不取0,则排列数为C：C；A：；若取0,则排列数为C；C；A；A；,因此一共可以组成C；C；A：+C；GA；A；=1260个没有重复数字的四位数.故答案为：1260.11 .【2018年高考浙江卷）二项式GG+'-）§的展开式的常数项是.Ix【答案】7/1'8【解析】二项式7+-的展开式的通项公式为I+12x）=g（时G）=q".令浮S=O得r=2,故所求的常数项为C>=7.故答案为：7.12 .【2018年高考天津卷理数】在（冗-j）5的展开式中，/的系数为.【答案】-253=2可得:2r=2,则V的系数为:C；=；X1O=I.故答案为:【解析】二项式a/=）15的展开式的通项公式为（T=Gx5-（-j）=（-g）GJG令13 .2017年高考浙江卷）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要.求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）.【答案】660【解析】由题意可得，”从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”总的选择方法为C：xC：xC；（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C：XC；xC；（利）方法，则满足题意的选法有：C：xC；xC；-C：xC；xC；=660（种）.故答案为：660.【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清”是分类还是分步”、“是排列还是组合“，在应用分类计数加法原理.讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式.14 .【2017年高考天津卷理数】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位,数一共有个.（用数字作答）【答案】1080【解析】题中4个数字均为奇数的四位数有A；种，4个数字中含有1个偶数，3个奇数的四位数有C；C；A：种，所以符合题意的四位数的个数为A；+C：C：A：=1080.故答案为：1080.【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数.15 .2017年高考浙江卷）已知多项式（x+1）=x+2）2=5+a1x4+2x3+a3x2+a4x+a5,则。广【答案】16,4【解析,】由二项式展开式的通项公式可得，（+i）33+2）2的展开式的通项为：CKGy"F=分别取r=0,根=1和r=1,帆=0可得%=4+12=16,取=m=0,可得%=1x2?=4.故答案为：16,4.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（+I=C/一7/（可以考看某项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.16 .【2017年高考山东卷理数】已知（1+3x）”的展开式中含有V项的系数是54,则=.【答案】4【解析】（1+3x）”的展开式的通项公式为（+I=C：（3x）'=C>3"，令r=2,得含有V项的系数为C>32=54,解得=4.故答案为：4.【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.17 .【2019年高考江苏卷理数】设（1+幻”=。0+41+。2工2+anxn,n4,wN!.已知4=2%.（1）求的值；（2）设（1+6）"=a+b6,其中,bN*,求/-36的值.【答案】（1）/2=5；（2）-32.【解析】（1）因为（1+T=C:+C5+C%2+.+c）",”4,所以生=C="吗=C/5U（'12）ZOa=C4=1）5-2）5-3）24因为=2a2a4,由N"5一1)(-2)20n(n-)n(n-1)(n-2)(n-3)所以1J=ZxX,6224解得=5.(2)由(1)知，n=5.(1+3)m=(1+)5=C+CG+C(G)2+C(G)3+(Gy+c(3)5=a+b>3-解法一：因为4,bN",所以=C；+3C；+9C；=76,b=C；+3C；+9C；=44,从而a2-3b2=762-3×442=-32.解法二：(1-6)5=U+C(")+C(-5)2+C(一括y+c(一后y+c(-石)5=C？-C3+C(3)2-C(3)3+C(3)4-C(3)5.因为4,bN",所以(1一6*-.因此/_3从=(+by3)(a-h3)=(+哥×(1-后=(-2)5=-32.【名师点睹】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
