专题27 向量法求空间角(原卷版).docx
专题27向量法求空间角一、单选题1 .在正方体ABCO-AgCQ中，E,F,P,Q分别为A'BR,AQ,的中点，则异面直线所与PQ所成角的大小是（）TlK7T7TA.-B.-C.D.一46322.在长方体ABC。-中，AB=AD=l,M=2,设AC交BO于点。，则异面直线4。与3。所成角的余弦值为（）a4厉口4厉n4百A.B.C.L）.1515993 .如图在棱长为2的正方体45CO-A4GA中，点石是AZ）的中点，那么异面直线。内和A3所成的角的余弦值等于（）B.4C.一52D.-34 .如图，已知点E、F、G、”分别是正方体ABCQAAGA中棱A4、A3、BC、GA的中点，记二面角石一/GO的平面角为。，直线"G与平面A3CD所成角为£,直线HG与直线0G所成角为九贝ij()A.a>（3>yB.P>a>yC.0=a>yD.y>a=05 .如图，在正四面体ABCQ中，BE=EC,CF=FD,DG=2GA,记平面EFG与平面BC。、平面ACD、平面ABD,所成的锐二面角分别为a、£、/,则（）CA.a>/3>yB.a>y>/3C./3>a>yD.y>a>/36 .如图，在长方体ABC。A4G2中，AB=2,BC=BB,=1,P是AC的中点，则直线的与A。所成角的余弦值为（）正D.叵b-T337 .已知两条异面直线的方向向量分别是/=(3,1,-2),v=(3,2,1),则这两条异面直线所成的角。满足()9191A.sin6=B.sin6=C.cos。二一D.cos0=144144二、解答题8 .如图，四边形中，A6C是等腰直角三角形，ZACB=90°,AM4C是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将M4C向上折叠到的位置，使。点在平面ABC内的射影在AB上，再将M4C向下折叠到£4C的位置，使平面£4C_L平面ABC,形成几何体ZM5CE.L(1)点尸在上，若DF平面E4C,求点尸的位置;(2)求二面角。一E的余弦值.9 .如图所示，在四棱锥PA3CD中，PA=AD=CD=2AB=2,ABLAD,CD±AD,Q4J_底面(2)在侧面P4D内找一点N,使用可上平面汽配)；(3)求直线尸。与平面P8O所成角的正弦.10 .如图所示，四棱锥PA3CD中，侧面POC是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面A3CO是ZADC=60的菱形，M为依的中点.(1)求A4与底面ABC。所成角的大小；(2)求证：平面CDW；(3)求二面角。MC3的余弦值.11 .如图，三棱柱ABC-ASG中，平面A/CC|_L平面ABC,A6C和MAC都是正三角形，。是A3的中点:.Al)求证：8G平面AQC；(2)求二面角4一。一£的余弦值.12 .如图，在四棱锥EABC。中，底面A3O)中CEV/A8,AB_L3C,侧面AB石，平面A3C。，且AB=AE=BE=2BC=2CD=4,点、M在棱AE上,且M4=2£N.MD(I)证明：CE平面BDM；(II)求二面角E-BD-M的余弦值13 .如图，在底面为菱形的四棱锥PA3CQ中，ZBCD=60°,PA=PD=CD.2(1)证明：AD±PB；(2)若P3=A0,点。在线段依上，且PQ=3Q3,求二面角ACQ3的余弦值.14 .如图，在四棱锥PA5CD中，包，底面A3c0,底面ABC。是边长为2的正方形，PD=DC,F，G分别是PB,AO的中点.AAED/xTV'BCBC图图（1）求证：平面ABEJL平面ABC；（2）若P为AC的中点，求二面角PBOA的余弦值.16.如图，E为矩形A3C。边C3的中点，沿3石将C8E向上翻折至,60°,且48 =及8。，FG = 2GC.、FBE,使得二面角C 跖一厂为BA心B（1）求证：G尸，平面尸CB；（2）求平面P45与平面PC8夹角的余弦值；（3）在AP上是否存在一点使得0M与PC所成角为60。？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由.15 .已知如图，在菱形A8CD中，NA=60。且A8=2,E为AQ的中点，将"BE沿BE折起使AD=正，得到如图所示的四棱锥4一区CDE.(1)证明：Ab平面3GE；(2)求直线BG与平面A6尸夹角的正弦值.17 .如图，长方体A8COAe中，AB=2,BC=Cq=l,若在CO上存在点E,使得4田，平(1)求。石的长;(2)求平面A耳A与平面3片上夹角的余弦值.18 .如图，三棱柱A5COE尸的侧面BEbC是边长为1的正方形，面BEFC上面ADEB,AB=4,NDEB=60。，G是。E的中点.(1)求证：CE平面AG尸；(2)求点。到平面AG/的距离；(3)在线段8C上是否存在一点P,使二面角P-GE-B为45。，若存在，求3。的长；若不存在，说明理由.19 .如图，在直三棱柱ABC-A耳&中，AC1BC,AC=BC=AAi=2(1)求证：A.C.LBC；(2)求直线AC和A瓦所成角的大小；(3)求直线AC1和平面AB与A所成角的大小.20 .如图，已知三棱锥尸ABC中，PAJ_平面ABC,AC±BC,PA=AC=BC.DB=2ADfM、E分别为尸5、PC的中点，N为人石的中点.(I)求证：MN工CD；(II)求直线尸3和平面PC。所成角的正弦值.21 .如图，三棱柱ABC-AAG中，底面A3C是边长为2的等边三角形，侧面BCG4为菱形，且平面8CG与_L平面ABC,NCBBi=60。,。为棱A4的中点.Bi(I)证明：3G，平面。C4；(2)求二面角4ocG的余弦值22 .在如图所示的几何体中，四边形43co为正方形，24,平面ABC。，PAHBE,BE=2,AB=PA=4.(1)求证：C£平面PAD；(2)求直线。与平面尸CE所成角的正弦值；(3)在棱A3上是否存在一点尸，使得二面角£PC/的大小为60?如果存在，确定点尸的位置;如果不存在，说明理由.23 .在四棱锥PABC力中，四边形A8C。为正方形，平面B43J_平面ABC。，PA8为等腰直角三角形，PA1PB，AB=2.(1)求证：平面尸平而%C；(2)设E为C。的中点，求二面角C-P8-E的余弦值.24 .已知长方体A8COA/|G。中，AD=AB=2,M=1,E为。G的中点.(1)证明平面与EC；(2)求直线AR与平面所成角的正弦值.25 .如图，四边形ABC。为菱形，ZABC=20°,四边形以小E为矩形，平面平面A3C。，点P在4。上，EPA.BC.(1)证明：AO_L平面BEP；(2)若石尸与平面A3CD所成角为60。，求二面角C正4的余弦值.26 .如图，在边长为8的菱形A8c。中，NABC=120，将AABO沿8。折起，使点A到达4的位置,且二面角A-3。-C为60。.(1)求证：C±BD；(2)若点七为4。中点，求直线BE与平面4。所成角的正弦值.27 .如图，在直三棱柱48C-AMG中，AB1AC,AB=AC=2,A4=4,点。是3c的中点.（1）求证：平面ADG，平面BCGg；（2）求平面AQG与平面4BA所成的锐二面角（是指不超过90的角）的余弦值.28 .ABC中，AB=AC=5BC=2,E,尸分别是边A3,AC上的点，旦EF/BC,AHA.BC于H,AHCEF=O,将沿跖折起，点A到达A',此时满足面A所_Ll&J3CEE.ArAp5（1）若一=-,求直线A3与面3CFE所成角大小；EB3（2）若E,尸分别为A3,AC中点，求锐二面角A'4EC的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点8到面Ab的距离.29 .如图，在梯形48CD中，AB/DC,ZABC=60°,平面A5CO,四边形4CFE为矩形，点M为线段石方的中点，且AD=CD=3C=1,CF（1）求证：平面3CM_L平面AMC；（2）求平面M45与平面/CB所成锐二面角的余弦值.3（）.如图，四棱锥PABC。的底面为正方形，侧面2401底面ABC。.B4Q为等腰宜角三角形,且Q4_LA。.E,b分别为底边A3和侧棱PC的中点.(I)求证：EF平而PAD；(II)求二面角EPDC的余弦值.
