专题09 数列求和方法之裂项相消法(解析版).docx
=，则数列一的前io项的和为（）2&4+J专题09数列求和方法之裂项相消法一、单选题1 .己知数列%的前项和s满足s9一10B.C.101111D.12C1J案答【分析】首先根据s= "（" 十 得至IJ="，2,再利用裂项求和即可得到答案.【详解】当22时，a=S-SHnn-12检验q=l=S,所以二.71设么=J-3;+10111I 101-11 11故选：C2 .谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的好玩的数学一书中，有一篇文章五分钟挑出埃及分数，文章告诉我们古埃及人喜欢使用分子为I的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数有而5x72019x20212020A.20211009C.2019的和是（B.D.1010202?20182019【答案】B【分析】根据裂项相消法即可求和.【详解】1If11>因为77=(+2)n+2)1111/.11FH1x33x55x72019x2021If1111111)一2(3355720192021)212021J1010一2021'故选：B,、2111.3.设等差数列q的前项和为S，且其二彳/，56=21,若寿+37+不丁力恒成立，则几3，31八2八的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】2由$4=-S5,求得=d,又由§6=21,求得4=1=1,求得S=+"5二1)=(+»,得到111ZZ2Snn+1111t1进而求得西+芨+技=1一初结合题意,即可求解.【详解】设等差数列4的公差为d,24x32(因为84=S5,所以4qd=5q+32315x4八d2整理得12%+18。=lOq+20。,即q=d,6x5由录=21,可得6“+d=21,即6q+15d=21,所以q=d=1,nrrIcj5T)5+l)Wr以=几十=221111所以才=而下二;TUI所以H1-,+2s2I1111tli223nn+1+1111因为不丁+尸+k</l恒成立，所以421，故X的最小值为L故选：A.【点睛】若把一个数列的通项拆成两项之差，在去和时中间的一些项可以相互抵消，从而取得前和,其中常见裂项的技巧：1=-；1=-(-(几+1)nH4-1(+2)2n+2©r = Vn+T-4n ；11z11、(3)=-()；(2/2-1)(2/?+1)22n-l2n+l(+1)(+2)2(+l)(+l)(+2)4.定义nR+ P2 +p为个正数P4,pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为12na111又b=。，则+=(乂2她b2b3她。A.1710B.21IIC.23D.9_19【答案】D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前项和，然后利用前项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列q的前项和为S，由题意可得:n1不二丁，贝I:s“ 2S“= 2",当拉=1时，q=S1=2,当N2时，=SnS_4n2,且4=4x1-2=2,据此可得%=4-2,故"二甘=2-1，姑用二（2-1）（2+1）-512-1-2+1,据此有:帅2b2b3bhoirrnnn（i+2113；35；11719J1 189=-x=.2 1919故选：D5 .已知数列%满足q=1,则数列qq+J的前项和（=（）nn2nnA.B.C.D.2n-l2+l2/i+14+2【答案】B【分析】利用倒数法求出数列q的通项公式，进而利用裂项相消法可求得7；.【详解】已知数列“/满足4=1,"+】=肃力，a11+2a1c11c在等式%+i=丁七两边同时取倒数得=-=+2,/.=2,2%+16用册anal1+ian所以，数列是等差数列，且首项为'=1,公差为2,则=1+2（1）二2九一1,.？=%an2n-l._1_If11）一4%（2/?-l）（2/z+l）一12+1）因此,7,+3IZ2(3)2(35)2(57)22n-l2/?+lJ212+U2+1故选：B.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.二、解答题6 .己知数列4的前项和为S，q=2,3S=(+2)a.(1)求%的通项公式;r+2,、设2二,求数列低的前几项和an#'【答案】(1)。=鹿仇+1)；(2)T=1【分析】(1)当22时，由3s“=(+2)%得到3S,i=(+l)«i，两式相减，然后再利用累积法求解.,7"+ 2c由得“而忻=211nr +,然后利用裂项相消法求解.【详解】(1)当2时，3s_=(+l)4?-i，则3。=3S3sl=(+2)卬(/2+1)的,整理得里Lan-+ 1n-cin故%也生”=四二-2%.3 a 几一 1 几一2>7_ 13-2 = /?(ai + 1)(m>2)-31 V 八 »当=1时,4=2满足上式，故q=鹿5 + 1).b“二n-T( + 1)2川，TC111111T=211h22x222x223x23几2”(+1)2向【点睛】方法点睛：求数列的前项和的方法公式法：等差数列的前项和公式，邑=（"+*=啊+也1）4等比数列的前几项和公式212叫，夕=1tqwi1一9分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前项和用错位相减法求解.并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如。=（-1）次及）类型，可采用两项合并求解.7 .数列J各项都为正数，前项和为S，4=2,%=5,当23时，（1）求。；（2）求数列一|的前项和7；.44用JJ7【答案】（1）。“二3-1；（2）.6+4【分析】（1）当N3时,结合条件可得。“+4一二!（。-4->（。“一。,1），即可得。.1=3（n>3）,经验证可得4-%t=3（之2）,从而数列%是首项为2公差为3的等差数列，可得出答案.111（11A（2）=/八千o?一三F用裂项相消可得答案（3-1）（3+2）33n-l3m+27【详解】当时，S“=S-2+；（个一唠），所以为+Mt=S一乂_2二:（。；一。3），所以/+I=；（。-）.（a-an-）.因为%各项都为正数，所以。“+4T>0,故。-4i=3（h>3）.又因为4=2,4=5,所以。2-4=3,故一。.i=3(n>2所以数列4是首项为2公差为3的等差数列,故%=3n-l.111(11)=x(3n-1)-(3/?+2)3(3_13+2,1fl111=X11F31255811>1<11)11x3-13n+2J3123+2,n6+48.等差数列各项都为正数，q=2,%=5,当心3时，S=5_2+：（。2-。2“_1）.（1）求。；（2）求数列的前项和方.44+Jn【答案】（1）4=31；（2）-.6+4【分析】（1）由5a=3_2+；3/一。2.|）可得4+41=|（。+。,1）（%-61），即可得凡一日再结合4q=3,即可得。是等差数列，进而求得凡的通项公式；=3(>3),（2）利用裂项求和即可,111(11)=x(3-1>(3+2)313-13+2,【详解】（1）当23时，s“=s_2+!（d-3），所以。+an_x=SS,T=；一<1），所以4+4t=1S+an_x（4-a,-）.因为%各项都为正数，所以故为qt=3（23）.又因为4=2,%=5,所以%-4=3,故°“-4_=3（。22）,所以数列4是首项为2,公差为3的等差数列，所以4=3/2-1.1（2）因为11(11)x(3m-1)-(3/?+2)3(3-13+2,所以q=3II1 I 卜 (2 5 5 813/1-111fl1 ) =X3 + 2)312 3+ 2,n6+4【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果个数列,的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从
