第34讲 极坐标(教师版）.docx

第34讲极坐标一.基础知识回顾1 .平面直角坐标系，设点P,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:x'=2x（2>0）,八的作用下，点P（x,y）对应到点P'（，y'）,称8为平面直角坐标系J=y（>O）中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念：在平面上取一个定点0,叫做极点；自极点0引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极少坐标系.设M是平面上任一点，极点0与点M的距离OM叫做点M的极径，记为P；以极轴OX为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极免,记为.有序数对（P,0）叫做点M的极坐标,记作（P,0）.1Q3.极坐标和直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作U1234”为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（,y）,极坐标为（P,0）,则它们之间的关系为X=Pcos,y=Psin6.另一种关系为：P2=x2+y2,tan=(x0).4.简单曲线的极坐标方程：（1）一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程6（p,0）=0,并且坐标适合方程6（P,G）=O的点都在曲线上，那么方程4）（P,）=0叫做曲线的极坐标方程.（2）常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为二的圆O=NOWJV2n)圆心为（r,0）,半径为r的圆0=2rcOS-圆心为（r,勺，半径为r的圆XP=2rsip_8(OWJVJT)/(1)J=(oCR)或6=n+过极点，倾斜角为。的直线(qR)/(2)="和J=+过点（兄0）,与极轴垂直的直线O(q,0)%QCoS1伊=_-VJ<5;（崂）过点（搐与极轴平行的直线Osin0=a(0VnV")0：X二.典例精析题型一：平面直角坐标系中的伸缩变换x'=3x,例1：在平面直角坐标系中，已知伸缩变换血°,2yf=y.（1）求点，-2）经过O变换所得点H的坐标；（2）求直线y=6x经过。变换后所得直线T的方程.×3=1,/=石=-I.，点川的坐标为(1,1).(2)设(/,/)是直线T上任x'=3x,x=F-,'意一点.由伸缩变换。：,得<3代入尸6M得2/=6=I2y=y,，JIy=2y,2/,/=V为所求直线的方程.X，=2X【变式训练1】在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，C后，曲线C变为曲线Iy=2/C-5)2+(+6)2=1,求曲线。的方程，并判断其形状.【解】将，,=2x=2/代入(7-5)2+(+6)2=1,得(2x5)2+(2y+6)2=1,即(x3?151+(，+3)2=5,故曲线。是以弓，一3)为圆心，半径定的圆.例2：将下列点的坐标进行极坐标与直角坐标的互化(其中。>0,0W9V2九)O(1)(4,)；(2)(-3,-1).O0,2),点(一5,【解】(1)Yx=。COS。=4CoS=-2,7=。Sin8=4Sin=24.；点的极坐标(4,-):(2)P(-3)2÷(-1)2>tanO一1)在第三象限，.=(，直角坐标(一小，-1)化为极坐标为(2,W).【变式训练2】将下列点的坐标进行极坐标与直角坐标的互化(其中Q>0,OW<2)(1)(2,一)；(2)(6,-y2).【解】(DX=2cos(g)=1,y=2sin(-g)=-/,，点(2,一()的宜角坐标为(1,一3).(2)Vp=(6)2+(-2)2=22,tan"=一与，点的直角坐标(乖，-2)XJ化为极坐标为(2/，V1t)题型三：极坐标方程与直角坐标方程的互化19例3：己知椭圆C的极坐标方程为P2=20，点F、艮为其左、右焦点，直线cosU十4sinU1的极坐标方程为Psin=Pcos2.求：(1)直线1和曲线C的普通方程；(2)点件、F?到直线1的距离之和.【解】由PSinO=PCoSO2,得直线1的普通方程为y=-2；由P?=12.Y272n,4.2tt,得p'(3cos20+4sin'0)=12,即3xi+4y'=12,曲线C的普通方程为彳3cosU+4sn4+j=1.(2)YF1(-1,0),F2(1,0),点F1到直线1的距离Ch=上弟回=乎，点Fz到直线1的距离cb='/,，d1+d2=2y2.【变式训练3】在极坐标系下，已知圆0：P=Cos0+s力？。和直线1：Psjn(0j)=亚2，(1)求圆0和直线1的直角坐标方程；(2)当e(o,")时，求直线1与圆0公共点的一个极坐标.【解】(D圆0：P=Cos伊+sinOi即q2=ocosJ+Qsin",圆。的直角坐标方程为V+=+y,即/+/xy=o直线/：QSin(。一：)=坐，即QSin夕一夕COSIy÷y-x-y=Q,=1,则直线/的直角坐标方程为yx=1,即xy+1=0.(2)由二得xy+1=0IrX=0,故直线/与圆0公共点的一个极坐标为(1,k).1K=12题型四：求曲线极坐标方程及其应用例4：如图，在极坐标系OX中，42,0),8(0令C(2,y),O(2,),弧.，BC，CQ所在圆的圆心分别是(1,0),(1,y),d,),曲线M1是弧AB，曲线“2是弧8C，曲线是弧C。.(1)分别写出M,M2fM3的极坐标方程：(2)曲线“由M，弧，弧构成,若点P在M上,且IOP1=1求P的极坐标.【解】(1)由题设可得，弧/W,8C,C。所在圆的极坐标方程分别为夕=2COS氏p=2sin<9,P=-2cos6,所以M的极坐标方程为7=2cos4张的：)，的极坐标方程为夕=2SineyW；,的极坐标方程为夕=一2COSe;领JeU4J-I4设P3。)，由题设及知若。声5则23*5解得崂；若颦。,，则2sin6=1解得夕=W或e=g;若微je兀，则-2cos6=1解得。二亨.综上，P的极坐标为6【变式训练4】太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗.太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的极坐标中，阴阳鱼图案中实线部分中的弧AB,弧OB.弧OA所在圆的圆心分别为(0,0),(1,-),(1,-),曲线22M是弧AB,曲线:是弧0B,曲线M3是弧0A.(1)分别写出“2,知3的极坐标方程；曲线M由陷，M2,构成.若点P在M上.且IOH=百，求P的极坐标.【解】(1)由题意可知曲线M的极坐标方程为：p=2,;曲线的极坐标方程为：p=2sini*1;曲线心的极坐标方程为：p=-2sin<9,何苧；(2)设尸(夕，')由题设及(1)可知：当夕呜苧时，0=2wJ此时点P不在曲线M上，当。0,J时，由2sin9=有得所以此时点P的极坐标为(当,?)；当6匹昔时，由-2Sine=百得6=,，所以此时点P的极坐标为(代阳)。综上可知点P的极坐标为(后,工)或(后场)。333题型五：极坐标系下极径C的几何意义的应用【例5】在直角坐标系XOy中，直线hx=0,圆Ca-I)2+。-1一色)2=1,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线/i和圆C的极坐标方程；(2)若直线/2的极坐标方程为G=:SR),设/1，2与圆。的公共点分别为A,B,求AOAB的面积.【解】(1)因为x="cos仇y=psin6>,x2+y2=p2,所以直线,1的极坐标方程为pcoSe=0,即，=枭R),圆C的极坐标方程为p2-2'COSe-2(1+5).Sino+3+25=O.将。=辨入P1-IpcQS/9-2(1+2)psin<9+3+22=O,得p2-2(1+5加+3+25=0,解得p=1+将0=：代入p2-2cos，-2(1+也加sinO+3+25=O,得p2-2(1+5)p+3+25=O,解得P2=1+也故4OAB的面积为(1+啦)2XSin；=1+邛.【变或训/5】在平面直角坐标系XO)，中，已知曲线M的方程为。-1)一+。，-1)2=1,过原点。且倾斜角为的直线/交M于A,B两点.以O为极点，1轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求/和M的极坐标方程；(2)当w(,2时，求QA1+O用的取值范围.2【解】(1)由题意可得，直线/的极坐标方程为J=SR)曲线M的方程为。-1)+。一1)2=1,因为X=PCOSay=psn,2+y2=p2,所以M的极坐标方程为夕2-2(cos6+Sine)P+1=0.(2)设ASI,),B(P2,«)>且i，p2均为正数，#=aKAp2-2(cos÷sin)p1=0,得p22(COSa+sin)p+1=O,当w(,时，4=4sin2>0,所以夕+p2=2(cos+sina),根据极坐标的几何意义，OA,IoB1分别是点A,B的极径.从而QA+O8=+"2=2(cos0+sin4)=25sin(+g.当(,;时，a+：£©，,故Q4+O8的取值范围是(2,25.题型六：极坐标系下的轨迹问题例6：在直角坐标系宜万中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为PCoS8=4.M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足IOMI。n=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2,穹，点B在曲线C2上，求aQAB面积的最大值.【解】(1)设P的极坐标为(p,6)(p>0),M的极坐标为Si，60(p>O).由题设知IoPI=QOM4由IOMOP=16得。2的极坐标方程P=4cos0(p>0).因此。2的直角坐标方程为(X2)2÷y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为Sb，a)(p>O).由题设知IoA1=2,p=4cosa,于是AOAB面积S=TIoA卜B，sinNAO8=4cosasin(-1)=2sin(2一勺一弹W2+小.当。=一合时，S取得最大值2+1所以4OAB面积的最大值为2+1【变式训练6】在直角坐标系XOy中，以坐标原点。为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=Sin夕+cos，点P的曲线。上运动.若点。在射线。P上，且OHOQ=4,求点。的轨迹的直角坐标方程；设M(4,弓)，求&0OP面积的最大值.【解】设QS,8),pg,e)S>o>0),则夕尸ine+cose,又qRoq=4,44.：.PPx=4,/.Pj=,=sin+cos,pcos。+PSine=4.将PPX=PCoSay=PSine代入上式可得点。的直角坐标方程为x+y=4.(II)设P(p,)(p>O),则P=COS。+SinaM4,4,I4