多维层次练53.docx

多维层次练531已知直线Zi:axy+1=O,直线1itx+50y+50=0,直线h与b的交点为M,点M的轨迹为曲线C.(1)当。变化时，求曲线C的方程；(2)已知点。(2,0),过点£(一2,0)的直线，与。交于A,B两点，求AAHO面积的最大值.-v+1=O,Y2解：(I)由A消去叫得曲线C的方程为t+V=X+5y+5=0,?1(J-1,即点(0,-1)不在曲线C上).(2)设A(X1,j),S(X2,J2),Z：x=my-29X=Jny-2,由<2_得(/+5)/24/wy1=0,114m1则w+也=声？也二一中，故aABO的面积S=；Ibo1帆一y=2,2-y=2(j2+j.)2-4y2y1=2-(J)+5=4小7/+1m2+59设f=M+1,ri,+),fib1,4545-则S-a+4一什产g当£=：即£=2,m=±时,4ABO的面积取得最大值低2.(2023山东济宁第一次模拟)已知椭圆C：+=1(a>>O)的离心率为由且椭圆C过点停书.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线I与椭圆C分别相交于A,B两点,且与圆。：/+步=2相交于瓦尸两点，求IA阴田川2的取值范围.解：(1)由题意得：=坐所以=*,所以椭圆的方程为呆+£=1,将点g，当代入方程得肥=2,即02=3,V2v2所以椭圆C的标准方程为+q=.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0),若直线/的斜率不存在，直线/的方程为x=1,所以IAbI=竽，IE尸F=%A8EP2=专叵.若直线I的斜率存在，设直线I的方程为j=(-1),A(xi91,J1),b(X2,J2).联立,32J=A(X-1),可得(2+3公)2-6妙工+3炉-6=0,.6k23-6则xi÷X2=2+32,X1X2=2+32,所以AB=(1+fc2)(X1-X2)2=Y舒卜吗争”.,小，、4(2+2)所以IEF1=-fc2+1J=jt2+1,所以A8E尸F=43(2+1)4(2+2)2+3公一一+(416小(公+2)_16#产+2J5,32+32=3.2=31+.,2A-+w-+33/因为d0,+),所以A3E川2(18,I63.综上，ABEF2i,I63.3.如图，在矩形AeCD中，AB=4,IAO1=2,。为A3的中点,P,。分别是AO和CO上的点，且满足耨=需，直线AQ与K117IIU13P的交点在椭圆E：+=1(a>6>0)±.(1)求椭圆E的方程；设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点,作MN垂直于y轴，垂足为M求梯形OKMN面积的最大值.解：(1)设A0与尸的交点为G(x,y)9P(-2,j),(x,2),»斯-TAy+2由题可知，2=4,因为Icag=kA。,Abg=Ep,诉Ry2_以所以工+2-m+2'-2-4'>,三>J、61从而有,_4_2(x1+2)一不整理得£+V=,无2即椭圆E的方程为+y2=i.由知R(2,0),设M(X0,yo),则州=；产从而梯形ORMN的面积S=；(2+xo)jo=3(4一舄)(2+xo)2,令f=2+xo,则2«v4,S=H4人一，.令=4Q一一,则/=12/4P=4(3-。，当f(2,3)时，w,>0,=4户一Z4单调递增，当f(3,4)时，u,<09=4P一/单调递减，所以当f=3时,取得最大值,则S也取得最大值,最大值为乎.4.已知椭圆号十若=13乂>0)的离心率6=半，原点到过点A(0,UUJ一b)和以小0)的直线的距离为*.(1)求椭圆的方程；(2)设尸1,尸2为椭圆的左、右焦点，过尸2作直线交椭圆于P,Q两点，求aPOB内切圆半径r的最大值.解：直线A的方程为?十七=1C1DR(Jbxay-ab=O.原点到直线Ab的距离为1而13(-)2+b2即3/+382=42/，由C=A=半，得d=翁，UJ0又a2=b2+c29所以联立可得02=3,力2=1,c2=2故椭圆的方程为'+V=1.(2)由得尸(一i,0),F2(2,0),设尸(X1,J1),0(X2,J2).易知直线PQ的斜率不为0,故设其方程为x=j+2,联立直线与椭圆的方程得x=ky+2f2(2+3)j2+22*j-1=0.1J+=1>,.2业+及=_公+3,J1J2=k2+3而SPQFi=SF1F2P+SFiF2Q=FF21yJ2=2/(j1+j2)2-4jj2,2木业2+k2+31又3»。尸1=；（|尸川+此。|+|尸。|），=2,=252所以如黯1=25r,iF+Ii1故长+3=辰工；工，_42'r+F+T当且仅当即k=土1时取等号.故PQFi内切圆半径r的最大值为;.