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多维层次练15巩固提升练1 .已知函数f(x)=x2(-m)9mR,若f(-1)=-19则函数式X)的单调递增区间是()A(TO)B(0,Wc1-8,一§,(0,+8)D.(-8,TJ(O,+)解析：因为f(x)=3x2-2mx9所以尸(-1)=3+2加=-1,解得机=一2,令/(x)=32+4>0,解得XV；或x>0,即大X)的单调递增区间是(一8,一野，(0,+).答案：C2 .(多选题)(2023广东省适应性考试)已知函数X)=X1n(I+x),则()A. /(X)在(0,+8)单调递增B. /()有两个零点C.曲线y=(x)在点昌，4一3处切线的斜率为一1一加2D.於)是偶函数解析：HX)定义域为(-1,+),不关于原点对称，故选项D不正确.Y因为/(x)=1n(1+x)+用，当x(0,+8)时，/(幻>0恒成立,所以大X)在(0,+8)单调递增.故选项A正确.又因为尸(X)=用+(+)2=(+)2,当*(-1,+8)时，/(x)>0恒成立，又T(O)=O,当x£(1,0)时,/(x)<0,所以儿:)在(-1,0)单调递减；当x(0,+8)时，/()>0,所以大X)在(0,+8)单递递增.又0)=0,所以大幻只有一个零点，故选项B不正确；因为尸(X)=In(I+%)+#P所以/，=In1=-1In2,故选项C正确.答案：AC3.(2023广东省适应性考试)已知<5且e5=5e",从4且加，=4e',CV3且ce3=3ec>贝!j()A.c<b<aB.b<c<aC. a<c<bD.a<b<c解析：由题意OVaV5,0<<4,OVCV3,f=,U。""TCJ_ex1ex(x-1)设大幻=三，x>0,则.住)=P可知AX)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，又OVaV5,OVbV4,0<c<3,则O<a<b<c<1.答案：D4.对于R上可导的任意函数人幻，若满足(X-Iy(X)NO,则必有()A.f(0)+f(2)<2f(1)B,y(0)+2)21)C.)+2)2DDf(0)+f(2)>2f(1)解析：当x21时，/(x)20,函数/(x)在(1,+8)上是增函数；当x<1时，/(x)<0,/U)在(一8,1)上是减函数，故大幻当x=1时取得最小值，即有AO)1),f(2)f(1)9得人0)+大2)相1).答案：C5. (2023百校联盟联考)若函数加r)=e*(sinx+)在区间卜去上单调递增，则实数的取值范围是()A.2,+)B.(1,+)C.(-2,+)D.1,+)解析：由题意知F(X)=er(sinx+cosx+a)0在区间(一5F)上恒成立，即心一gsing+/)在区间卜方得上恒成立，因为+f去用，所以SiIIq+：)e(一亭1,所以一恒也卜+得引一隹1),所以力1,故选D.答案：D6.(2023龙泉二中月考)若函数/(x)=x3-12X在区间仅一1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.-3或一KAW1或3B,不存在这样的实数土C. -2<k<2D. -3Vk1或1<<3解析：因为/(x)=x3-12x,所以(x)=3*212,令/(x)=0,解得X=-2或x=2,若函数/(x)=x3-12x在伏-1,A+1)上不是单调函数,则方程/(X)=O在仅-1,A+1)内有解.所以k1<2<+1或k1<2<+1,解得一3vAv1或1<<3.答案：D7.函数X)=IIIX一房-在定义域内为函数(填“增”J1Ij1X或“减”).解析：由已知得大X)的定义域为(0,+).X因为大幻=In.,11+2-2x4x2÷3x+1所以m-(1+2x)2=x(1+2x)2.因为x>0,所以4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0.所以当x>0时，f(x)>Q.所以AX)在(0,+8)内为增函数.答案：增8 .设大幻是定义在R上的奇函数，贝2)=0,当x>0时，有f-<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是.答案：(-8,-2)U(0,2)9 .已知函数r)=x2+1nx.(1)当。=-2时，求函数式X)的单调递减区间；2(2)若函数g(x)=U)+2在1,+8)上单调，求实数的取值范围.解：(1)由题意知，函数/U)的定义域为(0,+),.zv22(x+1)(-1)=-2时，/(x)=2-=由F(X)Vo得OVXV1,故人X)的单调递减区间是(0,1).(2)由题意得gr(x)=2x+-*v因为函数gCr)在1,+8)上单调，所以若g(x)为1,+8)上的单调增函数,则g")20在1,+8)上恒成立，即2x2在1,+8)上恒成立，2设0(x)=1-2x2,x1,+).易知0(X)在1,+8)上单调递减，所以在1,+)±,0(x)max=0(1)=O,所以0;若g(x)为1,+8)上的单调减函数，则/(x)WO在1,+8)上恒成立，易知其不可能成立.所以实数0的取值范围是0,+).210 .已知函数«r)=x(+11nx9>0讨论/(x)的单调性.解：由题意知，大灯的定义域是(O,+),易知a2ar+2=0的判别式/=q28,>0.当v,即OVQV2i时，对一切的x>0都有/(x)>0,此时/U)在(0,+8)上单调递增.当4=0,即=2i时，/(x)20,此时大x)在(0,+8)上单调递增.当>0,即>2啦时，方程,U)=0有两个不同的实根，分别为Xi=0702-80+702-8,且0<X<X2.a-702-8a+1)-#I上单调递减,f(x)9/(X)随X的变化情况如下表:X(0,XI)Xi(XI,X2)X2(X2,+)Z(X)+00+於)Z极大值极小值Z上单调递增,此时/(X)在0,T竺害三，+8上单调递增.I2掠合应用练若对任意X1,xi9且0<xiVx2<q,都有*21nx1Xi1nX2<x1A2B.1D.2e.1+1nX令X)=I1-InX则F(X)=-易知/(X)在(0,1)上大于零，/U)单调递增，/(X)在(1,+)±小于零，/U)单调递减.由于X1VX2且人小)勺口2),故工1,X2在区间(0,1)上，故。的最大值为1.答案：B12.已知y=)是定义在R上的奇函数，且当XVO时，不等式f(x)+xf(x)<0成立，若a=303f(30-3),8=IOgTr3Uog7r3),C=IOg3(Iog3则,b9C大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b解析：令MX)=4U),因为函数j=(m)以及函数y=是R上的奇函数，所以O)=0,所以加X)=相X)是R上的偶函数，且A(O)=O,又因为当XVO时，hf(x)=f(x)+xf(x)<09所以函数/Z(X)在(一8,0)上为单调递减函数，所以MX)在(0,+8)上为单调递增函数.因为1og3I=-2,所以/(10g33=/(-2)=_/(2),由O<1og3<1<303<305<2,得(1og3)<(303)<(2),即b<a<c.答案：D13 .已知函数大幻=/-2x+e*-F其中e是自然对数的底数.若a-D+2a2)0,则实数。的取值范围是.解析：由式X)=X3-2x+eJ*得大一幻=-x3+2x+最-=1/U),所以x)是R上的奇函数.又/(x)=3x2-2+ex+*32-2+24$=340,当且仅当x=0时取等号，所以/()在其定义域内单调递增.因为大。一1)+(2°2)W0,所以f(a-1)-f(2a2)f(-2a2)9所以一1-2心解得一故实数Q的取值范围是-1,答案Jf；4.14 .已知偶函数7U)是定义在xR*0上的可导函数，其导函数为f(x).当XVo时，ff(x)J,?恒成立.设m>19记Q=4n(n+1)h=2-tf(2m),c=(m+1)f则“，乩C的大小关系为.f(X)解析：当XVO时，,r(x)女1>(X)-U)VO构造函数g()='，；),o1fCx)xf(X)则gf(x)=pv,即g(x)在(一8,0)上单调递减.函数/U)为偶函数，故g(x)为奇函数，得g(x)在(0,+8)上单调递减.f(2m)b-4m7=,2m4/%m+1因为m>19所以小+1>2赤，黑V器=2而即a<b<c.答案:a<b<c15 .已知函数X)=1nx“X3(QWR).(1)求函数/U)的单调区间；若函数y=(x)的图象在点(2,人2)处的切线的倾斜角为45°,对于任意的b2,函数g(x)=x3+x2f(x)+修届区间(。3)上总不是单调函数，求机的取值范围.解：(1)函数大幻的定义域为(O,+),Cea(1-)且/QO=；,当。>0时,大幻的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+);当QVO时，贝X)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1);当Q=O时，AX)为常函数.(2)由及题意得/(2)=3=1,即=-2,22所以AX)=-21nx+2-3,/(x)=j-.所以g(x)=x3+俘+2)F2x,所以g,(x)=3x2+(n+4)-2.因为g(x)在区间93)上总不是单调函数，即短(X)在区间亿3)上有变号零点.,g'<0,由于g，(0)=-2,所以匕>o.当gt)<O时，即3产+W+4)E-2vO对任意1,2恒成立，由于(0)v0,故只要g")v且g<2)v,即m<5且m<9,即m<9;3737由gr(3)>0,即m>一了.所以一nvwv-9.即实数机的取值范围是(一手，一9).拔高创新练16 .若函数e7(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在/(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2xB.f(x)=x2C.f(x)=3xD.f(x)=cosX解析：设函数g(x)=er(x),对于A,g(x)=ex2x=jr,在定义域R上为增函数，正确,对于B,g(x)=erx2,则g<x)=x(x+2)e”,由(x)>0得v-2或x>0,所以g(x)在定义域R上不是增函数，不正确.对于C,g(W=e*3-x=伊在定义域R上是减函数，不正确.对于D,g(x)=excosX9则，(幻=啦0小0§,+，g<x)>0在定义域R上不恒成立，不正确.答案:A