以斐波那契数列为背景的试题探究：斐波那契数列（定稿）（xiugai）+-+副本+（2）.docx
以斐波那契数列为背景的试题探究(二)以斐波那契数列的性质为背景命制试题例4意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把2222这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么+%+%+%o是斐波a2O15那契数列中的第项.【解析】斐波那契数列总有为+2=川+“，则q=,a；=a2(a3-a1)=a2a3-a2a1，cci=a3(4-a2)=a3a4-a2a3,9¾I5="2015(“2016“2014)=152016-20142015,ai2+a2+ai+,+6f20152=。2015。2016,2222所以4-+生+%+.+生。/=¾I52222故4-+%+%+%0一是斐波那契数列中的第2016项.a2015【性质1】斐波那契数列的前项的平方和：i2÷+a/=q4+,即2=A+i/=I【例5】斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作算盘书中记载着这样一个数列：U,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列.那么q+%+6+%(H5是斐波那契数列中的第项.【解析】由4=4，a3=a4-a2,a5=a6-a4,，¾5=¾6-4»可得：q+%+4+。刈5=%。故q+a5+G+.+的心是斐波那契数列中的第2016项.【性质2】斐波那契数列的奇数项之和：勾+生+生+%1=%,，即£%“二小”r=1【例6】著名的斐波那契数列叫：1,1,2,3,5,8,13,21,34,，满足%=a2=1,an+2=%+见,那么1+4+4+4+«2014是斐波那契数列中的第项.【解析】由出二色一弓，a4=U5-C13»»2014=。2015一生013，可得：a2+a4+a6+2014=2015-1,故1+/+4+4+Go.是斐波那契数列中的第2015项.【性质3】斐波那契数列的偶数项之和：a2+a4+ab+a2n=%+-1即Z%=÷1/=1【例7】同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列4中，a=Va2=Van_2+an_1=a11(t3).若a206=,那么数列的前2014项的和为.解析由q=4,生=/一°ia3=a4a2,a4=a5a3t，a2OI4=6f2OI5-2OI3可得：a1+a2+a3+2014=¾14+a20i5-a2=a2016-=a-.故数列«,的前2014项的和为-1.性质4斐波那契数列的前项之和SI1=ay+a2+a3+an=an+2-y即4=%+2-1<=1【性质5连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即an+xaf1-anaf1=atn2).【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式为+。=勺+2的变形an=an+2-azj+1或。用=a,+2a进行裂项，从而达到相消求和的目的【例8】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.(1)某学生发现以下特征：aia4-a2a3=,a2a5-a3a4=-,aafi-a4a5=Ka4a7-a5afi=-1,由此可归纳出一个结论？能否给出证明？(2)证明：.=aA+2+(-1)n.【解析】3川一%+2=(T)M证明如下：当=1时，qq=1显然成立假设当=欠时，q%+3-+凡+2=(T)I，即%+1%+2=%+3-(T)I，则当=A+1时,ak+ak+4ak+2ak+34+14+4(+4+1)+3=4+14+4-4+14+3一4%+3=4+1(%+4-4+3)-4%+3=-4+3=44+3(T)%+3=(T)-这就是说，当=2+1时等式成立.根据和，可知等式对任意正整数都成立成立.(2)当=1时，左=W=I,右4%+(T)'=1，显然成立假设当=左时，a：M=q*2+(T)”,即aiak+2=a+1-(-1)则当=A+1时，ak+2=%+2(%+%+1)=akak+2+akak+2/+1一(一1)+0k+ak+2=d+1+%1%+2-(T)A=%14+3TTY=%1%+3+(T)A这就是说，当=4+1时等式成立.根据和，可知等式对任意正整数都成立成立.(n+1)-()M对任意的恒成立，则M的最小值是.【解析】斐波那契数列叫满足：4=1，/=IM-z+%=41则心=4%2+(T)"因为削十之叫母子,小)告所以+吐-也”+34+2立一%二(T)“'an+3an+2an+3an+2而|/(+1)一小)|=-=。”+3“+23。46故只需M”"+1)Z=，.即M的最小值是土【探究】斐波那契数列中，还有许多性质，如：连续两项斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即。；+二叼用；相间两项斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即q-42=%(z2);连续三项斐波那契数后两项的平方和与第一项的平方之差仍是斐波那契数，即-q=%g2);下标为女的前项斐波那契数之和满足。3+4+a3t1=(+2-1)1例10意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.某学生在自主学习了杨辉三角之后，发现它与斐波那契数列4以下特征：Cq=1=f1pC10=1=«2,C+C11=2=3,C+C=3=4,C：+C；+C；=5=%，C；+C：+C；=8=必，C；+G+C：+C：=13=%C+C：+C；+C：=21=a8,1+q2-1+WT(=2M(?N").(h=2w-1)你可归纳出什么结论？请给以证明.C1÷C2+C3+【解析】qh数学归纳法证明如下:当二1、2时，结论显然成立.假设当"=k-1/时，结论成立，讨论女为奇数的时候,k-k-1%=+Q-2+Ct+，+Ck11,ak-=。：-2+C-3+C1+÷+CJ1T-2则当=A+1时，4+1=%+4'AT、÷C1+c+C1+砥2)=C1÷(C2÷Ci2)+(c.3+Ct)+÷电+宅一(22(人叫°I4_C24-402一1(N)T十，上卜2十1g1)-3十,十v(÷1)21-TJ这说明我为奇数的时候，结论成立；同理可证&为偶数的时候，结论也成立.这就是说,当=A:+1时等式成立.根据和，可知等式对任意正整数都成立成立.
