专题20 解析几何多选题2(解析版).docx

专题20平面解析几何1.瑞士数学家欧拉(1eOnhardE忧Ier)1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点4(-4,0),8(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是()A.(2,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(0,-2)【答案】AD【解析】【分析】设C(X,y),依题意可确定AABC的外心为M(0,2),可得出力,y一个关系式，求出AABC乖心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出乂V另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设C(%y),AB的垂直平分线为y=-%,ABC的外心为欧拉线方程为1一y+2=0与直线y=-X的交点为M(-1,1),.MC=MAI=i,.(x+1)2÷(y-1)2=10,由4(-4,0),8(0,4),AABC童心为(一,号)，代入欧拉线方程x-y+2=0,得x-y-2=0,由可得x=2,y=0或x=0,y=-2.故选:AD【点晴】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.2.在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点4(-2,0)和点8(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线。是轴对称图形B.曲线。上所有的点都在圆f+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标X满足W>2【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件求出曲线C的方程，即可求得结论.【详解】设点P(X,y),垃、kpA+kpB=+=2,x÷2x-24得孙=/一4,=0不满足方程，y=-(±2)X图像如下图所示：曲线对应的函数是奇函数，图像关于原点对称，无对称轴,选项C正确，选项A不正确：x2+=2x2+4-88-8>2,选项B正确；X当X=I时，y=-3则选项D不正确.故选:BC【点睛】本题考查求曲线方程，并研究曲线的几何性质，属于较难题.43.若双曲线C的一个焦点厂(5,0),且渐近线方程为y=±§x,则下列结论正确的是()r2v25A.C的方程为二-21=1B.C的离心率为:91641 QC.焦点到渐近线的距离为3D.两准线间的距离为M【答案】AD【解析】【分析】先根据双曲线的几何性质求出其标准方程，再根据方程求出其它性质，再逐一判断各选项.【详解】22由题意设双曲线的标准方程为T一方=1(>0>0),焦距为2c,4 双曲线C的一个焦点尸(5,0),且渐近线方程为y=±-x,c=5.a=3b4/J-=-,解得<8=4,a3a2+b2=c2W=522 双曲线的标准方程为土-二=1,A对；916Q5 其离心率为e=£=,8错；a34×5焦点到渐近线的距离d=j32+42=4,C错；准线方程为X=±=±2,则两准线间的距离为更，。对；C55故选：AD.【点晴】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，属于基础题.4.我们通常称离心率为避二！的椭圆为“黄金椭圆”.如图，己知椭圆C:二+t=1(>b>O),2a2b2A，4,片,鸟为顶点，6,B为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆''的有a.IA耳1,1E/11鸟41为等比数列B.ZfJB1A=90°c.PF1Ix轴，且尸。44D.四边形4员45的内切圆过焦点【答案】BD【解析】【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解.【详解】解：,C:-+二=1(o>b>0)ab.,.A(-a,0),/i2(0,0),B1(0,),¾(0,-),F1(-c,0),F2(GO)对于4：IA6IJE用IJ/41为等比数列则IAKH%42r甲寸.(-c)2=(2c)2.a-c=2c.e=g不满足条件，故A错误；对于8：NMA,二90。.f12=B12+M2(+c)储+a2+b"./+牝-/=0即.62+6一1=0解得6=叵：1或6二逆二1（舍去）满足条件22故3正确；对于C：PK，轴，且产。4片.（b2IaJ工kpo=及为B1即a_b附得b=c-c-a2I22a=b+c.e=S=4-=也不满足题意，故C错误；ay2c2对于。：四边形AA44的内切圆过焦点即四边形4名45的内切圆的半径为c,.Ob=cya2+b1:.c4-3a1c2+a4=O.e4-3+1=0解得=2±（舍去）或/=止叵225-1.e=2故。正确故选：BD【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.5 .已知抛物线C:V=4x的焦点为尸、准线为/,过点尸的直线与抛物线交于两点P（X,凹）,。（马，必），点尸在/上的射影为6,则（）A.若x+w=6,则PQ=8B.以PQ为直径的圆与准线/相切C设M(H),RJPM+P2D.过点M(Oj)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【解析】【分析】利用抛物线的定义和几何性质依次判断选项即可【详解】对于选项A,因为=2,所以西+9+2=|八2,则|尸。=8,故人正确；对于选项B,设N为尸。中点,设点N在/上的射影为N,点。在/上的射影为2厕由梯形性质可得M=理1毂=竺1”=吗故B正确；222对于选项C,因为F(1,0)、所以IPM1+1Pe1=I尸M+PFM目=,故C正确；对于选项D,显然直线X=O,y=1与抛物线只有一个公共点,设过M的直线为y=京+1.联立4Y,可得"+(2"4)x+1=0,令A=O,则Z=I,所以直线y=x+1与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的几何性质的应用,考查直线与抛物线的的交点个数问题,考查抛物线的定义的应用,考查数形结合思想和运算能力6 .过抛物线V=4”的焦点尸作直线交抛物线于A，B两点,M为线段A3的中点，则()3A.以线段AB为直径的圆与直线X=-二相离B.以线段BM为直径的圆与>轴相切2C.当A7=278时，AB=D.AB的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义和直.线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.【详解】对选项A,点“到准线=T的距离为削M+1叫)=扣同，是以线段A5为直径的圆与3直线=1一定相切，进而与直线X=一定相离：2对,丁选项B,显然AB中点的横坐标与；IBM不一定相等，因此命题错误.对于选项C,D,设Aa,y),(x2,y2),直线AB方程为x=my+1,联立直线与抛物线方程可，于是得y2-4wy-4=0,y1y2=-4,xix2=1,若设A（4a14a）,则8IAM=X+毛+=4/+白+2,IA用最小值为4；当4尸=2EB可得y=-2%,故选:ACD.【点晴】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.7.已知抛物线C:y2=2px(>0)的焦点为尸，直线的斜率为6且经过点尸，直线/与抛物线C交于点A、B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点O,若IAq=8,则以下结论正确的是()A.p=4B.DF=FAC.BIJ=2BFD.BF=4【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点A、8作抛物线C的准线2的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线加交X轴于点尸，贝IJ1P曰=，由于直线/的斜率为后，其倾斜角为6()，.他”轴，.,./出尸=60,由抛物线的定义可知，AE=IAF则AM尸为等边三角形，.NEFP=ZAEF=6()，则NPE尸=30，.AF=EF=2PF=2.=8,得p=4,A选项正确；AE=EF=2PFf又PF7AE.尸为Ao的中点，则O/=£4,B选项正确；ZZME=60*/.ZADE=3(),:.BD=2BM=2BF(抛物线定义)，C选项正确;11Q-BD=2BF,aBF=0F=>D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8 .已知点A是直线/:x+y-J=0上一定点，点、P、Q是圆f+V=1上的动点，若NPAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是()A.(,2)B.(1,2-1)C.(2,)D.(2-1,1)【答案】AC【解析】【分析】设点A的坐标为",应T)，可得知当AP、AQ均为圆V+y2=的切线时，NPA。取得最大值90，可得出四边形AP。为正方形，可得出IOAI=进而可求出点A的坐标.【详解】如下图所示：J2原点到直线/的距离为d=J=1,则直线/与圆V+y2=1相切，ir7F由图可知，当AP、A。均为圆V+y2=的切线时，NPAQ取得最大值，连接OP、OQy由于NPA。的最大值为90,且NAPO=NAQO=90,OH=IoQ1=1,则四边形ApOQ为正方形，所以OA=OP=0,由两点间的距离公式得OA=2÷(2-)2=2,整理得2-2"=0,解得f=0或&，因此，点A的坐标为(0,或(0,)故选：AC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.9 .已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB1CDfAB的斜率为&,且QO,CA两点在X轴上方.则下列结论中一定成立的是()urUUir3A.OCOD=-p2B.四边形ACBO面积最小值为16p2C.向+向=/D.若|4日忸叫=4p2,则直线8的斜率为6【答案】ACD【解析】【分析】2利用抛物线的极坐标方程求出Mq,怛耳，mn，cq,然后即可计算求解，判断出各选项的真假.【详解】设A8的倾斜角为。，则有|AB|=|CD|Sin=?P111CosM所以画+画=/，C正确；AF=1P,I8尸I=1P八,若IA尸|忸尸=4p2,贝IJSine=1，tan=3,I-cos/91+cos6>I11123直线CD的斜率为-小,D正确;Sabcd=ABCD2p2sin2cos2犷sin22Sp2,所以B不正确;设C(A1,y),D(w,%)，由抛物线过焦点弦的性质可知，X1X2=y,y1y2=-P2,3°OCOD=x1x2+yxy2=-p-f所以A正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能