(完整版)数列题型及解题方法归纳总结.docx

一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。递推式为an=an+d及anu=qan(d,q为常数)例1、已知af1)满足anM=an+2,而且a产1。求ano例1、解&r&,=2为常数a,是首项为1,公差为2的等差数列.*.a11=1+2(n-1)BPa,1=2n-1例2、已知“满足，而q=2,求知=?解Y*=:是常数A2.(a.)是以2为百项,公比为1的等比数列6尸=击(2)递推式为an÷=an+f(n)例3、已知%中3，*i+舟，求凡.解:由已知可知-an=()(2+1)(21)22n-2+1令n=1,2f,(n-1),代入得(nT)个等式累加，即(a2a)+(aa-a2)+,+(a<-an-)1z.Ix/1】、/11、=TC1)C).()121'3，1'2n-32n-1”4九一34/7-2知识框架数列的概念,数列的分类数列的通项公式一函数角度理解数列的递推关系等差数列的定义=d(z?2)等差数列的通项公式a=4+(n-)d等差数列分期付款其他等差数列的求和公式S.=3(4+%)=+*也等差数列的性质a“+am=ap+aq(m+n=p+q)两个基本数列'等比数列的定义乌-=qn2)a-等比数列的通项公式=%数列等比数列，一一火MqT)(n等比数列的求和公式S=-qq1naxq=1)等比数列的性质zjw,=aaqQn+=p+q)公式法分组求和错位相减求和数列求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用V掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。7*引辅助数列(X),Gtfc=4)，得1i=/W后序qqqQnqq(5)递推式为4+2=Pan+g”思路：设M+2=4川+«，可以变形为：4+2-用=(4+-)，Q+=p就是j=(+B)%j-Ba11则可从.cRP解得叫B,于是a,是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。21【例6】己知数列(aj中,=1,=2,an>2=a1÷-ah,55求(".aj是公比为g,首项为a?4=1的等比数歹an-a1=T)0+(T),÷-÷T)-说明只要和f(1)÷f(2)+f(n-1)是可求的，就可以由an=an+f(n)以n=12,，(n-1)代入，可得nT个等式累加而求a11.(3)递推式为an+Fpan+q(p,q为常数)例4、4中，4=1,对于n>1(nN)有=3q7+2,求解法一：由已知递推式得a11+=3an+2,an=3an-+2o两式相减：a,1,-a11=3(a11-a11-)因此数列E，阖是公比为3的等比数列，其首项为aia尸(3×H2)-1=4.*.anM-a11=43,1Va,r=3a,+23a+2-a,=43r1即a11=23"1-1解法二：上法得(anH-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=4-3,ai-a3=432,an-an-=43n2,把nT个a非=4(抖3+3蹲+妒)/(二)an=23n-1-1(4)递推式为an+=pan+qn(p,q为常数)【例5】己知%中，anu=k+R求”.0JN略解在a.”=£+(；)皿的两边乘以得2j=j(2n)+1»令2_则bn"=W%+1,于是可得-bn=-(bn-bn由上题的解法，得：,f=3-2(-r说明对于递推式%=p+q可两边除以酸得=2、错项相减法：适用于差比数列(如果q等差，"等比，那么%叫做差比数列)即把每一项都乘以"的公比夕，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。可裂项为：-=（-）,%+da,1an+i等差数列前项和的最值问题：1、若等差数列q的首项4>0,公差d<0,则前项和S“有最大值。an0(i)若已知通项,则S“最大O"K.0(ii)若己知S=p"+q，则当制取最靠近-幺的非零自然数时S“最2P大；2、若等差数列q的首项q<0,公差d>0,则前项和S“有最小值.*.a=1+1-(-；)Za1(n=1)SbSM(n>2)此类型可利用=(6)递推式为Sn与an的关系式【例7】设()前n项的和S11=4击。(D求&E与a”的关系;(2)试用n表示af,解(1)由S.=4-%-盘r得SE击Sn+-Sn=(4-勺+1)+-上式两边同乘以2nH得2%*2E+2则2na11是公差为2的等差数列。2,a,1=2+(n-1)2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。勺。(2)形如为=的递推数列都可以用倒数法求通项。k%+b(3)形如=6的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到。用-4一=d或色红二夕时，分奇数项偶数项讨论，结果可an-能是分段形式。数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法)./1Zn(n+1)11IT+T(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：_1_1_.-1=±(±1)n+1n(n+k)k,nn+k111z11、<=()k2F-I2k-k+111111<<(k+1)kk2(k-)kk-k=-；="5+1)5+2)2n(n+1)(n+1)(«+2)(/?+1)!?!(n+1)!（H）若已知Sft=P/+w,则当九取最靠近-X-的非零自然数时S最2小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知S”（即“+a,+an=（n）求应，用作差法：m（H=i）己知a1.2an=75）求a11,用作商法：an=</（）（>2）0已知条件中既有5“还有劣,有时先求S.,再求耳；有时也可直接求知。若-an=/（,2）求。“用累加法%=（4一n-1）+（41一凡-2）+（七一4）+a1（n2）O已知%±二5）求知,用累乘法：%=4.&±”52）°an%an-24已知递推关系求凡，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如。二生%1+6、a=ka,r+b（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为女的等比数列后，再求勺；形如<=缸的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求又S=4,'S11是等比数列，Sn=4n20t,an=Sn-Sn-1=34向4、叠乘法解:"1=J1.2=1a1a2an_,23na1n一3又a=3,an=n5、等差型递推公式由ar,-a11=f(n),a1=a0,求a11,用迭加法n2时,a2-a1=f(2)%i=f(3)两边相加，得：an-an-1=f().an-a1=f(2)+f(3)+f(n)a"ao+K2)+K3)+f(n)练习数列a11,a=1,a11=3Z+a(n2),求a116、等比型递推公式2(V?+1n)=3=2<-j=<=2=2(ynn-i)"+z+1nyjn+-1二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由S“求知(n=1时，a1=S1>n2时，an=Sn-Sn-1)3、求差(商)法如：aj满足;ai+a?+-an=2n+5<1>解：n=1时，一a=2x1+5,.*.a.=142n2时，1+-a2+7Tan-=2n-1+5<2><1>-<2>W：-an=214(n=1)2n+,(n2)练习数列卜/满足$11+$2a1=4,求a（注意到a.=S向-SII代入得:a+1an2上为等差数列，-=1,公差为31aJa2,_2*dnnT72.数列求和问题的方法(IX应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。n(n+1)1+2+3+n=C21+3+5+(2n-1)=nIrom,3-n(n+1)(2n+1)1十2+3+n=I615÷23÷3s+/=驾卯【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=+1)2个奇数，an=Can-1+d(c、d为常数,可转化为等比数列，设an=>an=ca-1+(C-1)X令(C-I)X=d,.*.X=C-1卜+告是首项为小十.d(d、an+.=a1+c-1VC-1/-(dK-Id*an-aI÷.IcC-1/C-练习数列a11满足为=9,3an+(a.=8(-§+1)7、倒数法2a例如：a1=1,an+1=；a+2由己知得：_=%*=a÷2acO,c1,d)-x=c(an.1+x)旦，C为公比的等比数列c-1CnT1+a=4,求a11，求a1111+一2an(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列13x,5x)，(2n-I)XnT前n项的和.解设Sn=1+3+5x?+(2nT)x"T.(1)当X=1时，Sn="n=na.(2)X=O时，Sn=I.