简单几何体的外接球与内切球问题.docx

简单几何体的外接球与内切球问题定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球1、长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,cf则体对角线长为1=Ja2+万+¢2,长方体的外接球直径为2R。为体对角线长为1即R=坞玉i2、正方体的外接球：正方体的棱长为a,则正方体的体对角线为人，其外接球的直径为儡。3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为W,底面周长为3,则这8个球的体积为例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是二、棱锥的外接球1、 正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。例3、正四棱锥SABCD-的底面边长和各侧棱长都为后，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.例5若正四面体的楼长为4,则正四面体的外接球的表面积为。例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：()(A)芋(B)亭(C)4(D)#2、 补体方法的应用(1)、正四面体(2)、三条侧棱两两垂直的三棱锥(3)、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2.4cm2和3cm2,那么它的外接球的体积是0例9、在三棱锥A-BCD中，ABJ,平面BCD,CD±BC,AB=3,BC=4.CD=5,则A-BCD三棱锥外接球的表面积。例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A4B.87Vc.12D.161三、圆柱、圆锥的外接球旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例11、圆柱的底面半径为4,母线为8,求该圆柱的外接球的半径。例12、圆锥的底面半径为2,母线长为4,求该圆锥的外接球的半径。四、正方体的内切球设正方体的棱长为a,求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得H（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R=*a。三、棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为R=”例17、正四棱锥S-ABCD,底面边长为2,侧棱长为3,则内切球的半径是多少？例18三棱锥P-ABC中，底面AABC是边长为2的正三角形，PAJ_底面ABC,且PA=2,则此三棱锥内切球的半径为（）六、圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）例19、圆锥的高为4,底面半径为2,求该圆锥内切球与外接球的半径比。例20、圆柱的底面直径和高都是6,求该圆柱内切球的半径。个底耐口三个侧面都相切和T外接球积之比为。P-ABCDE卜,则此正六棱锥的侧面积是hTiEm，所有T内切球哨三蹄的两除经过三棱柱的6个顶点）,则此内切球与外接球2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同T球面上，若a该球球泄T1如图，则图中三角形GE四面体的截面的面耨.4、已W三棱锥、-八川的所有顶点都在球。的球面上MB（是边长为:的正三角形,S。为球的直径,且SC=2;则此棱锥的体积为（）A.3B.旧C.旧D.366325、已知点P,A,B,C,D是球。表面上的点,PA1平面ABCD,四边形ABcD是边长为2有正方形若PA=26,则AOAB的面积为一个正四面体的内切球，外接球，棱切球的半径如何计算已知正四面体X-3CZ的棱长为,求它的外接球半径、内切球半径、棱切球半径“解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上.设外接球半径为及，如图（O为外接球球心，G为5CZ的重心）+AA内切球半径,=°G="G-XO=零一手=粤棱切球半径为OE=-Jeg2+OG2何a-J1aV12+24=