离散型随机变量及其分布列专题训练.docx

第二节离散型随机变量及其分布列考点一离散型随机变量的分布列例1(1)写出下列各随机变量可能的取值.(I)小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为I(X)元、260元和600元，记他的旅费为X；()正方体的骰子,各面分别刻着1,2,3,4,5,6,随意掷两次,所得的点数之和X.答案：(I)100、260、600(H)2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12(2)抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么J=4表示的随机试验结果是()A.一颗是3点z一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点答案：D(3)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(I)2X+1的分布列；()X-I1的分布列.解：由分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+w=1,所以Jn=0.3.首先列表为X012342X+113579IX-H10123从而由上表得(I)2X+I的分布列为2X+1I3579P0.20.10.10.30.3()X-I1的分布列为IX-H0123P0.10.30.30.3点拨研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义.明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础.注意离散型随机变量分布列的两个性质：p0,/=1,2,w;pi=1.随机变量可能取某一区间内任r=1意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如"长江水位""灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.(4)(2018.豫北十校联考)某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式.参加自主招生的同学必须依次进行“语文M数学M科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀,则不得分.已知小明三科考试都达到优秀的概率为玄，至少一科考试优秀的概率为总，数学考试达到优秀的概率为！，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立.(I)求小明语文考试达到优秀的概率；(H)求小明三科考试所得总分的分布列和期望.解：(1)依题意,设小明语文考试达到优秀的概率为“科学考试达到优秀的概率为“2,且P>P2,f11列P2=正,则VI-(I-P1)则小明语文考试达到优秀的概率为3.(II)记小明三科的总得分为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6.P(X=4)=5×(1-J=P(X=5)=(1-)×H=.P(X=6)=××=24.则X的分布列为X0123456P141418524112124124E(X)=Ox；+1×+2×+3×+4×-j+5×+6×=.变式1(1)袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球,求取出的3个球中红球个数X的概率分布.答案：仁3当=O时，P(S=O)=8，C2当=1时，蛇=1)=三言,CIqC：|C；CI1C；C；°120+90+10C-CC'-220-C2Ci当号=2时，&=2)=告虫,G?012P3C1C2C3评述:(2髓机变量的分布列如下其中。力(成等差数列则P(Iq=D=公差d的取值范围是一-1O1PabC解：因为。，心C成等差数列，所以2b=。+C12又+b+c=1,所以=爰所以P(=I)=。+。=.又=g-d,c=g+d,根据分布列的性质，得0亲*|,0+<,所以-卜舄.故展；-3,11(3)(2017.天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为I,4(I)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望；(II)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到I个红灯的概率.解：(I)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=O)=(GX1界(1-£)二P(X=1)=×(1-j)×(1-1)+(1-2)×K14)+(1-2)×(14)×4=24P(X=2)=(i-)×3×4+2×(13)×4+2×K14)=Vp(=3)=2×3×4=所以，随机变量X的分布列为X0123P1411244124随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×-+2×+3×=卷()设y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y+z=i)=p(y=o,z=i)+P(y=1,Z=0)=p(r=0)P(z=)+P(F=)P(z=0)I11I1111-4x24+244-48所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为总4o考点二超几何分布例2(河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校高三年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.设事件A为“选出的这4个人中要求有2个男生2个女生，而且这2个男生必须文、理科生都有“，求事件A发生的概率；(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望.解：(1)因为学生总数为IoOO人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人、女生2人，文科男生1人、女生3人.CVC卜CW404所以尸(A)=Fr=丽=五(2)X的可能取值为0,1,2,3,c?1P(X=O)="-qeIP(X=I)=而而，C¼C?IP(X=3)=-=5,X的分布列为XO123P123Io130II316E(X)=0×+1×2+2×+3×=亍点拨超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X=k)=,即恰取了攵件次品的概率二.当较小，N较次品中取了附X正品中取了-k件M牛产品中任取件大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替.也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样.超几何分布在产品检验中经常用到.变式2(2017山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者Ai,A2,A3,A4,As,4和4名女志愿者从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含与的事件为M,则P(M)=急=苒(2)由题意知X可取的值为：O,1,2,3,4,则P(X=O)塔金,CgC15P(X=I)=FT=Te1dioP(X=2)=而=五，CgCi5P(X=3)=京=五，D/v八cci1P(X=4)=而=丘因此X的分布列为X01234P142521102521142X的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4XP(X=4)3×+4×=215C1o=0+1×2+2×2+考点三摸球模型、抽签模型例3口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球.(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差.解：“有放回摸取何看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为P=I记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A,其概率为P(A)=I设摸得白球的个数为X,则X的取值为0,1,2,432P(X=O)=4×r>42248p<x=1)=6×5+6×5=15P(X=2)=×=所以X的分布列为X012P258151"15282E(X)=0×7+1×+2×T=T,JJ1JJ1JJZXX)=(O-蓊+(I-D+(2-D=点拨求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率.就本题而言，弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键.均值与方差直接套用公式计算即可.变式3(江西省新八校2019届高三第二次联考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下.等级标准果优质果精品果礼品果10304020(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，每次抽取1个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下.等级标准果优质果精品果礼品果售价/元kg/16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这IOO个水果中抽取IO个，再从抽取的IO个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X).201解：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A,则P(A)二哥,现有放回地随机抽取4个，每次抽取1个，设抽到礼品果的个数为X,则所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X=2)=C瑞)2a2=患.(2)设方案2的单价为,则单价的期望值为E()I6×+18×+22×-+24×=16+54+88+48=20.6,因为E()>20,所以从采购商的角度考虑,应该采用方案1.(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取IO个,则其中精品果4个，三牖品果6个.现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3,则P(X=O)=*IP(X=I)=镖=4,P(X一21-C'p-P(X-4-P(X-2)-c-io,P(X-3)