坐标系与参数方程(题型归纳).docx

坐标系与参数方程（一）极坐标系：1、定义：在平面内取一个定点0,叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M,用P表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，P叫做点M的极径，O叫做点M的极角，有序数对（P,。）就叫做点M的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系.2、极坐标与直角坐标互化公式:极坐标与直角坐标的互化公式：VX=夕COSey=PSine222p-=x+y2tan,0X极坐标与直角坐标的互化的前提：极点与直角坐标的原点重合；极轴与X轴的正方向重合；两种坐标系中取相同的长度单位。例如：极坐标方程夕CoSe+psin9=1nx+y=1（在转化成Xy时要设法构造CoSaPSine,然后进行整体代换即可）3、求极坐标方程的两种方法：处理极坐标系中问题大致有两种思路：（1）公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化；建立P与。的方程.（2）几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）（二）参数方程：1、参数方程的定义:就称为该曲线的参数方程，其中/称为参数。2、常见的消参技巧：(1)代入法：X=t+3二2+3/0为参数)=y=2+3(x-3)=y=3x-7(2)整体消元法：/、2。为参数），由t+=尸+f+2可得:X2=y+2(3)例如：，x=3cos9公皿y=2sinJ妫参数cos=-223Xy.v94Sine=上2三角函数法：利用si6+cos?6=1消去参数3、常见曲线的参数方程如下:C1*4*COS(1)圆：(工一。)2+()一)2=/的参数方程为：jv27+rsin6>,。«0，2乃)，其中。为参数，其几何含义为该圆的圆心角：Y?V-V=/7COS(2)椭圆：/+R=1(>b>°)的参数方程为Jysing，6g"2万)，其中。为参数，其几何含义为椭圆的离心角；(3)双曲线：一3=1(。6>0)的参数方程为"嬴)，00,2),其中。为参数，其几何(y=Z?tan，含义为双曲线的离心角；(4)抛物线：9=2氏(>0)的参数方程为|"二2广，其中f为参数；y=2。(5)直线：过M(XO,%),倾斜角为。的直线参数方程为°,fR,其中为参数，y=%+sine其中M代表该点与M的距离。注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解。4、直线的参数方程进一步讨论，1、过定点(升,%),倾角为，的直线的标准参数方程形式：=为参数)y=y0+rsn其中参数t是“以定点P(xo,yo)为起点，动点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量”，又称为点P与点M间的有向距离。提醒在直线的标准参数方程中，参数1的系数的平方和为1时，£才有几何意义并且t的几何意义为:111是直线上任一点M(x,y)到Mo(xo,yo)的距离，即IMoM|=11.2、根据t的几何意义，有以下结论.x=÷cosa>经过点MaO，兆)，倾斜角为。的直线/的参数方程为1.(f为参数).若A,8为直线/上两y=jo÷sma点，其对应的参数分别为力，B,线段48的中点为P,点P所对应的参数为如则以下结论在解题中经常用到：(1)M=IM8M=f2;(2)B=r2-r;(3)AM-BM=tvt2(4)=tB-tA=y(t+tA)2-4tAt；常常涉及的相关内容：(1)辅助角公式及三角函数的值域.(2)直线斜率的几何意义、点到直线的距离公式、圆的弦长公式.(3)韦达定理、圆锥曲线两种弦长公式及其推导过程.()常见的四种题型：1、方程互换；2、直线标准参数方程的应用；3、最值问题；4、简单的平面解析几何问题。极坐标与参数方程经典问题：题型一：客观题1 .在极坐标系中，关于曲线C:夕=4Sinje-2）的下列判断中正确的是（）3,A.曲线C关于直线6=也对称B.曲线C关于直线。=工对称63C.曲线C关于点（2,?）对称D.曲线C关于极点（0,0）对称2 .已知直线/的极坐标方程为2psin（。-3=,点A的极坐标为4（2立,卫,则点A到直线/的4I4）距离为.1x=t3.在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为,；（/为参数），以坐标原点为极点，X轴正半轴y=t+-为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程是PSin（6+（=1,则两曲线交点间的距离是.解：1.由p=4sin（e工）得p2=2psin。-25COSe即（x+jY+（y1）2=4,所以曲线C是<3J圆心为（一百,1）,半径为2的圆，所以曲线C关于直线。=K对称，关于点（2,葛）对称,答案A.2 .直线/:JEpCoSo=J=>psine-pcosO=1,转化为直角坐标方程为y-x=1,点A的直角坐标为（2,-2）,则a到直线的距离为公处察1斗答案:半1x=t3 .C:，y=t+-C2:psincosy+pcossiy=1ngpsin。+*。COSe=1.,.C2的方程为乎x+=1联立方程可得：F一篇42代入消去y可得：（一底+2）2-2=4n22-4Ir=0设交点A（XQJ,8（乙，%）则玉=O,=25'AB=+Fx1-2=43答案：4。.题型二：方程互换+直线标准参数方程的应用2.1:选修4一4：坐标系与参数方程己知曲线G的极坐标方程为夕=2驾，G的参数方程为x=2+-t(f为参数).sin7-(I)将曲线C1与G的方程化为直角坐标系下的普通方程；(2)若CI与G相交于4B两点,求|明.解：(1)曲线G的直角坐标系的普通方程为V=2x曲线C2的直角坐标系的普通方程为x+y=45分(2)将C,的参数方程代入G的方程V=2%得(2-也y=2(2+也。得：1t2_3=O222解得4=0冉=&43=4-f2=610分2.2:选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系M万中，曲线G的参数方程为x=2-t5C为参数）.C4y=-2+-/5以坐标原点为极点，以X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕COSe=tan6.(1)求曲线G的普通方程与曲线C?的直角坐标方程；(2)若G与交于AB两点，点尸的极坐标为求尚+工的值IPA1IPBI解：(1)曲线C1的普通方程为4x+3y-2=0;曲线G的直角坐标方程为：y=C3X=2I,(2)G的参数方程的标准形式为5（f为参数）代入y=V得C4y=-2+-t.59/一80/+150=0,设4山是A、B对应的参数,则+4=等秘2=与11_PA+PB_t+t2_8PAPBPAraIr1Z2I15+'-在直角坐标系Xoy中，曲线的参数方程为<X=cosa,y=2sin0（为参数），将曲线G经过伸缩变换I2、y=y后得到曲线在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为PCOSepsin6Io=0.（I）说明曲线G是哪一种曲线，并将曲线G的方程化为极坐标方程;（2）已知点M是曲线G上的任意一点，求点M到直线/的距离的最大值和最小值.x=cosa解：（1）因为曲线G的参数方程为）.（为参数），y=2snx,=2fx,=2cosa,因为，则曲线c,的参数方程4，c.y=y.y=2sm.所以G的普通方程为/+Zj=4所以C?为圆心在原点，半径为2的圆.所以G的极坐标方程为。2=4,即夕=2.（2）解法1：直线/的普通方程为x-y-Io=（）.曲线C2上的点M到直线I的距离d=2cosa-2sina-1o2cos(+W)To12=k当COS(a+；卜1即a=2k£（kZ）时，d取到最小值为艮二5五-2当CoS=1即a=:+2k(kWZ)时d取到最大值为解法2：直线/的普通方程为x-y-10=0.因为圆C2的半径为2,且圆心到直线/的距离d0-0-10=2因为55>2,所以圆C?与直线/相离.所以圆C?上的点M到直线/的距离最大值为d+r=50+2,最小值为d-r=5-2.XCoS在平面直角坐标系Xoy中，曲线G的参数方程为一八(。为参数)，曲线C,的参数方程为y=1+sin。"(0为参数)y=sin(1)将C,C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为TT夕(COS，-2sin6)=4,若CI上的点尸对应的参数为。二耳，点。上在G，点M为尸。的中点，求点“到直线/距离的最小值.解：(1)G的普通方程为V+(y-If=1,它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，C的普通方程为三+V=1,它表示中心在原点，焦点在X轴上的椭圆.24(2)由已知得尸(0,2),设Q(2cos6,sine),则M(CoSa1+；Sin6),直线/:x2y4=0,点到直线/的距离为dICOSe-Sine-6|应sing-6)-6所以T=%叵,即M到直线/的距离的最小值为65-W5题型四：方程互换+简单的平面解析几何问题4.1：选修4-4：坐标系与参数方程X=2+"cos,在直角坐标系XOy中，曲线G：r为参数).以。为极点，X轴的正半轴为极轴建y=7sinTT立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=8cos0,直线/的极坐标方程为。二石(夕/?).(1)求曲线G的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；(2)若直线/与G，G在第一象限分别交于A,B两点、，P为上的动点，求APAB面积的最大值.解：(1)依题意得，曲线G的普通方程为。一2)2+V=7,曲线G的极坐标方程为p2-4pcos6>-3=0,直线I的直角坐标方程为y=6x.(2)曲线C2的直角坐标方程为(x-4)2+V=16,由题意设A(g,y),以外1，则-4月CoSq-3=0,即PJ一20一3=0,得介=3或p=T(舍)，夕2=8CoSg=4,则IABI=3一夕=1,C2(4,0)到/的距离为q=R=2634以AB为底边的43的高的最大值为4+23»则PA8的面积的最大值为×1×(4+23)=2+3.4.2 ：选修4一4：坐标系与参数方程将圆/+V=I上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的上，得曲线C4(1)写出。的参数方程；(2)设直线/：4x+y+1=0与。的交点为P，2，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段PiB的中点且与/垂直的直线的极坐标方程.解：(1)由坐标变换公式'=W"'得x=4x',y=y'y=y.代入V+y2=中得6x，2+y，2=i,故曲线C