高数一公式自己的笔记.docx
第一章极限连续五种基本初等函数：(缺少定义域)1.塞函数y=x"("为实数)2.指数函数y='(>O,w1)3. 对数函数y=k>gwx(>O,w1)4. 三角函数y=sin苍y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx5. 反三角函数y=arcsinx,y=arcco&x,y=arctanx,y=arccotx一、函数的极限：f(x)在XO处极限存在的充分必要条件是f(x)在点XO处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。是否有极限与在XO处有无定义无关。两个重要极限公式:*OX-1Iim(I+x)X=e,1im(1H)=e.VOAX二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。无穷小之商不一定无穷小。无穷小量比较：设Iima=0,1im£=0X->qX->J若Iim=0,则称祗与时,较6为高阶无穷小品记为g=o)XT若Iimq=8,则称在r方时,a较五为低阶无穷小量。XTXO若IimW=A声0,则称在t局时,与为同阶无穷小量。A=1时。与夕为等价无穷小量记为仇XTXO当x0时,sinXx,tanxx,1(1+)x,1-cosx-,ex一1x2性质：当r->0时4,且Iim里存在，则Iimq=Iim区x'-'.r0xx0,!注意：只能在豳中使用不能在加减运算中使用三、函数连续的三要素1) f(x)在XO处有定义；2)XfXt)时f(x)有极限；3)极限值等于该点的函数值。Iim/U)=/(x0)如果三要素之一不满足即为函数的间断点。XTAb性质：如果y=(")=Hg(X)为复合函数)=/()为的连续函数,Iimg(X)=A存在-r则有Iim/g(x)=1img(x)f(A)oxXf/介值定理：设f(x)在a,b上连续，f(a)Wf(b),则对于任意介于f(a)与f(b)之间的值c,必定存在一点&使得f(<fe)=Co零点定理：设f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)<O,则必定存在一点&使f(&)=0。常用来判定方程f(x)=O根的存在与根的范围。第二章一元函数微分学一、导数概念：,)=Iim包=Iim-2十/(XQ)=这匕&2=(x)1°r-OXvOx物X-JVoI-“性质：函数y=f(x)在点Xo处可导的充分必要条件是该点处的左右导数都存在且相等。函数可导性与连续性的关系：可导必定连续，连续不一定可导。导数定义计算方法：1求出y=/(x)相应于自变量改变电T的改变量Ay=f(x0÷jv)-/(x0);2求出函数改变量与自施:改变量之比笈;o-tu.y3A求IimvoAv基本初等函数的导数公式:(sinx)=cosx(COSX)三-sinx(tanXr-COSTX(arcsinx>,11-x2-1(arccosxV=/7?(arctanx>:1+x,(COtXA=一一一sinX-1(arccotX壮71+X导数的四则运算法则:(u±V)*=M,±v'(CM),=C"C为常数)(wvy=wv÷w已)=(v0)反函数求导法则：函数r="y)在某个区问可导则反函数y=/(x)也可导,且尸(X)=(y)参数方程求导：设y=/(X)是由确定,且以力、口力可导，则孚=坞2y=甲(t)dt(Z)对数求导法：y=心可两端取对数Jny=Tn再两端求导。y=JZ(A)(X)(w,%,/为整数),可两端取对数Iny=1n(x)÷X:In(x)-1n1(x)-1nj?2(x)g(x)g2(x)n二、微分微分的充分必要条件：可导。即可导必可微。dy=y'dx微分中值定理：1罗尔中值定理：函数y=(x)满足:1在闭区间0句上连续2在开区间内可导3f(a)=f(b)则在开区间:4切内存在一点使侬'¢)=0罗尔中值定理几何意义：连续曲线除端点外的切线平行于X轴。2拉格朗日中值定理：函数y=/(x)满足以下条件1在闭区间,切上连续2在开区间b)内可导；则在开期间4初内至少存在一点使缈S)-()='(4)S-4)拉格朗日中值定理几何意义：连续曲线除端点外有切线平行于AB弦。洛必达法则：对于未定型极限适用2,上000函数尸(X)满足：1)在XO某一领域内(点VO可除外)有去定义且Iim/(x)=0,Iirn产(X)=0；*->%-v2>,(x)尸(X)在该领域内存在且F(X)R0；3) IimU').(或o)XfXQF(X)贝J：Iim'=Iim/(或为)<F(x)XfXoF(X)三、导数的应用1 .求切线方程：j-()=,()(-0)求法线方程：y_/(X0)=一_1(X-X0)f(XO)2 .函数的增减性判断：尸。)>00步(X)单调增加函数；反之单周减少函数。3 .函数的极值：(函数导数不存在的点也可能是函数的极值点：如y=1x1在x=0时。)1)2)3极值的必要条件：y=F(X)在沏点可导,且先为f()的极值点则/(X)=O当/(Xo)=OH寸称V。为A(X)的驻点。极值的第一充分条件：设y=/(X)在点”的某领域内可导Ef(XO)=0,则：1>若X<%时ZM(X)>0;当X>XO时尸(x)<0,则%为/(X)的极大值点2>若X<XOM尸(X)V0;当%>x0B'J,(x)>0,则与为/"(X)的极小值点3>若/(X)在X。的两侧同号则)不是的极值点。极值的第二充分条件：设y=/()在点/处二阶可导且()=o,则：1>若/”(Xo)V0,那么XO为/(X)的极大值点；2>W"()>0,那么与为x)极小值点；3>,(xo)=0,此方法不能判断。4 .函数的最大、最小值：极大(小)值是某点领域内局部性质，最大(小)值是函数在Eb上整体性质。最大小值求法：D求出f(x)所有(可能的极值点)驻点,导数不存在的点XI,X2.Xko2)求出上述各点及x=a,x=b时的函数值,进行比较其中最大的为函数a,b上最大值,最小为最小值。5 .曲线的凹凸性在区间(a,b)内曲线上点的切线位于曲线弧的下方,则称曲线(a,b)内为上凹(或凹弧),切线位于上方,则称为下凹的(或称凸弧).性质：如函数V=/(x)在(以,b)内二阶可导，1)若在(,勿内有''(X)>0,则曲线弧y=/(x)在(凡b)内为上凹的。2>若在(,勿内有尸(X)<0,则曲线蝇，="x)在(,力)内为下凹的。连续曲线上凹与下凹的分界点称为曲线弧的拐点.求拐点的方法:求出二阶导数等于零的点与不存在的点,判断该点两侧的二阶导数是否异号,如异号则该点为曲线弧的拐点,如同号则不是拐点.6 .曲线的渐进线若点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时,与某条直线1之间的距离无限接近于零,则称1为曲线的渐进线。若直线1与X轴平行,则称1为曲线的水平渐近线;与X轴垂直,则称1为曲线的铅直渐近线。*、什制仿+Iim/O)=C贝Ijy=C为曲线V=/(X)的水平渐近线渐进性的求法：'*Iimf(x)=8,贝IJX=%为曲线y=/(x)的铅直渐近线。第四章一元函数积分学一、不定积分原函数：F,(x)=/(x),则称F(X)为X)的原函数。不定积分：/(x)的原函数的全体，称为/(x)的不定积分，记为：J/*)公=/(X)+C,jF(x)沏'(X)的一个原函数。几何意义：平行于切线的一族积分曲线。原函数存在原理：f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在。性质：()y=(x)(尚述在为先积分后求导，作用抵消)相差一个常数)fx)dx=/(x)+C(简述为：先求导后积分,不定积分基本公式：Odx=CJx"dxaxdx=-ax+CJInaJCoSAZzX=sinx+Cn+exdx-VJcos.y,+'÷C(z-1)dx=tanx+CXJ<x=InIxI+Csinxdx=-cosjv+C5dx=-cotx+Csin*xdx=arctanx÷C1÷x2,dx=arcsinx+C二、求积分的方法1 .积分第一换元法郎()具有原函数F(")W=O(X)存在在连续导函数，贝指换元公式/I0(x)M(X)dx=fw>du="Q)I“一3A)+C=F(<p(x)+C2 .积分第二换元法：解决如：JqN±2)"x,令X=sinr.cos，4sec，等：叫/(x.7)dx令，=心,即”=，”fkxydx=f1<p(.t')<p'tydt=0(7)÷C=<p'()÷UJC中(PT=0(/)的反函数。3 .分部积分公式Juv'dx=UV-u'vdx三、定积分设函数f(x)在区间；a,句上有定义用分点a=x0<x1<.<xn=人将区间>,勿分成个小区间*7g,x,表示第i个小区间长度，在Si上任取一点,作合xtIimf/(.)x,'->,=1记2=maxxj,.,Ax”),则"x)在区间,力定积分为f/(x)dx=Iim£fi)x,几何意义：面积值。但有正负，大于0为面积，小于。为亩积的负值。定积分估值定理：如果f(x)在区间a,b上的最大值与最小值分别为M和m,则nb-a)£/(X)dxM(b一a)定积分中值定理：如果£；)在闭区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点使T=b-«>.常称七f八K)必以八,)在区间3上的平均值。牛顿=莱布尼茨公式：f/()d=F(x)=F(b)-(6)定积分的对称性：Pf1wx-/(X)为奇函数1八)人工)心/(X)为偶函数无穷区间上的广义积分：如果Iim/(x)必存在，定义广")d=Hm广义积分f"/(x)4收敛，否则发散,Z?m*joJaJaft>-oJa/说明：设a>0,当p>1时，广义积分厂二再收敛，当O<p1时，广义积分厂匚处发散。四、定积分的应用1求平面图形的面积S=j"f(x)dx4 .求旋转体体积V=2xdx第四章空间解析几何一、平面方程1 .平面的点法式方程：过点M(xo,yo,zo),以n=A,B,C为法向量的平面方程为A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O2 .平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0两个平面间的关系：设有平面与1：Aix+By+Cz+D=O;Ji2：A2x+B2y+C2z+D2=O平面Ji1、Ji2相互垂直的充分必要条件是：A1A2+B1B2+C1C2=O平行的充分必要条件是：八U重合的充分必要条件是：A=W1=f1=22B2C2D2二、直线方程1 .直线的标准式方程：过点Mo(Xo,yo,zo)且平行于向量s=m,n,p的直线方程“7。一。Z-Z。mnp2 .直线的一般式方程：Ax+By÷Cz+
