阿基米德三角形的常见性质及其应用-学生版.docx

阿基米德三角形的常见性质及其应用知识与方法1.如图1所示，不妨设抛物线为Y=2py(p>0),抛物线上48两点处的切线交于点P,则：(1)设AB中点为例，则平行于(或重合)抛物线的对称轴；(2)加的中点S在抛物线上，且抛物线在点S处的切线平行于弦AB.2.如图2所示，不妨设抛物线为=2py(p>0),抛物线上48两点处的切线交于点P,则：(1)若弦AB过抛物线内的定点Q1则点P的轨迹是直线；特别地，若弦AB过定点(0,?)(?>0),则点户的轨迹是直线,y=n；(2)若弦AB过抛物线内的定点Q,则以Q为中点的弦与(1)中点P的轨迹平行.3.如图3所示，不妨设抛物线为Y=2py(p>0),抛物线上48两点处的切线交于点P,若AB过焦点F,则点P的轨迹为抛物线准线，PA1PB,PF±AB,且PS的面积的最小值为4.如图4所示，不妨设抛物线为a-2=2py(p>0),抛物线上48两点处的切线交于点巴则：(1)ZPFA=APFB；(2)M斗忸FI=IPFf提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例U己知点P(TI)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，过点P作抛物线的切线，切点为4B1则直线AB的斜率Z=.变式1已知点仞(2,-1)和抛物线C=今，过C的焦点尸且斜率为攵的直线与U交于48两点,若NAMe=90。，则左=.变式2已知抛物线C=4y,过点P(1,T)作抛物线U的两条切线，切点分别为/和8,则经过P、48三点的圆的方程为.变式3已知过抛物线/=2)，焦点厂的直线与抛物线交于48两点，抛物线在48处的切线交于点C则,Aee面积的最小值为.变式4已知抛物线C:9=4X的焦点为尸，过尸的直线与抛物线C交于48两点，抛物线U在48两点处的切线相交于点P1若|4百=3,则IP产I=.【例2】抛物线Cx2=2py(p>0)的焦点为F1且尸与圆/:x2÷(j+2)2=1上的点的距离的最大值为4.(1)求P的值；(2)若点Q在圆/上，。4、Q8是抛物线U的两条切线，48是切点，当/Q/A3时，求直线AB与y轴交点的坐标.强化训练1 .()已知点P(-2,1)在抛物线Uy2=2p(p>0)的准线上，过P宿他物线U的切线，切点分别为2和B1则直线AB的方程为.2 .()已知抛物线Uf=4)、的焦点为F1过点尸的直线/交抛物线U于48两点，抛物线在4B两点处的切线相交于点。，则尸48面积的最小值为.3 .()已知抛物线UV=2x和点,过U的焦点尸且斜率为的直线/与抛物线C交于48两点,若PAPB=Of贝必=.4 .()已知抛物线C:Y=4)，过点P(,T)作抛物线。的两条切线，切点分别为/和8,若经过P、48三点的圆被X轴截得的弦长为4,则与=.5 .()已知抛物线.v=Y和点p(o)，若过某点C可作抛物线的两条切线，切点分别为/和8,且12.满足C?=-C4+-C8,贝!1abc的面积为.336.()已知动圆过点b(0,1),且与直线/:y=T相切.(I)求动圆圆心的轨迹E的方程；(2)设。为T)点，过夕作曲线£的两条切线以、依，切点分别为/和8,且,直线AK与圆f+9=4相交于C。两点，设点P到直线钻的距离为,是否存在点P,使得IAM8=4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.