第五章向量代数与空间解析几何.docx

第五章向量代数与空间解析几何§5.1向量代数（甲）内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念a=xi+yj+zk坐标(x,y,z)模p|=yx2+y2+z2方向余弦CoSa,COSj3,coscosa=-1；cos=-,'；cos/=-,yx2+y2+Z2yjx2+y2+z2yx2+y2+z2三、向量运算设。(X1Ji，zj；b(y2,z2):C(与J3，Z3)1 .加(减)法a±b=(x1±x2.yi*z±22)a,b2 .数乘a=(r1,y1,Az1)abcosz3 .数量积(点乘)(i)定义W-b=(ii)坐标公式。b=x1x2+yiy2+z1z2(iii)重要应用ab=OOaIb4 .向量积(叉乘)>>>(T-(i)定义Ia×bI=时sinza,b。乂/?与和/?皆垂直，且,b,x?构成右手系（ii）坐标公式。Xb=X2MZ1力z2->>(iii)重要应用"X8=O=a,b共线TTT5、混合积(i)定义(,b,c)=(b)cTTT的弘Z1(ii)坐标公式(,h,c)=为zX3y3Z3(iii)a,b,c表示以,b,C为棱的平行六面体的体积（乙）典型例题例1、点P到过A,B的直线之间的距离PA×PBd=AB例2、点P到A,B,C所在平面的距离TTTPAPB,PC因为四面体PABC的体积V=9.SabcITT而SMSC=5ABXAC例3、过点A,B与过点C,D的异面直线之间的距离（丘港CbjAfixcbT因为CO=CTi,i1平行六面体体积贝id=平行四边形面积§5.2平面与直线（甲）内容要点一、空间解析几何1空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标X,y和Z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线2距离公式空间两点A（X1,y,zj与8（工2，为，22）间的距离d为J=(x2-X1)2+(y2-y1)2+(z2-Z1)23定比分点公式M(X,y,z)是AB的分点：TK=”，点A，B的坐标为A(X,y,zj,B(x2,2,z2),则x1+x2yi+y2z1+z2一,y-,Zf-1÷A1+A1÷当M为中点时，r-xi÷x21M+为一Z+Z2X->y,Z-222二、平面及其方程。1法（线）向量，法（线）方向数。与平面乃垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量风,p的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面乃，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2点法式方程已知平面不过M（Xo,y0,Zo）点，其法向量=A,B,C,则平面的方程为A（X-x0）+B（y-y0）+c（z-）=°或n（r-）=0其中=%,z0,r=xyy,z3一般式方程Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C不全为零.X,y,z前的系数表示万的法线方向数，n=A,B,C是乃的法向量特别情形：Ax+By+Cz=0,表示通过原点的平面。Ax+By+D=0,平行于Z轴的平面。Ax+D=O,平行yz平面的平面。x=0表示yz平面。4三点式方程设A(X1,y1,z),(x2,y2,z2),C(x3,y3,Z3)三点不在一一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为X-My-y1z-zi“一为力一凹22-z1=0W一芭为一力-21A1X+B1y+Cz+D1=05平面束设直线1的一般式方程为,7,则通过1的所有平面A2X+B2y+C2z+D2=0方程为K(Ax+5y+Gz+。)+K?(+3?y+C?z+。2)=，其中(KM2H(00)6有关平面的问题两平面为：1x÷B1>,+C1z+D1=01：A2x+B2y+C2z-D2=0再与12间夹角(9)A1A1+B.B,+C1C0COSe=1_;一a12+b12+ci2a22+b22÷c22垂直条件A1A2+BB2+C1C2=0平行条件&B2C2ID2J重合条件A=A=£1=21A2B2C2D2设平面乃的方程为AX+8y+Cz+£)=0,而点M(X1,)%zJ为平面开外的一点，则M到平面汗的距离d：d_Ar1+ByT+Cz1+DyA2+B2+C2三直线及其方程1方向向量、方向数与直线平行的非零向量S,称为直线1的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。2直线的标准方程（对称式方程）。Xf=y-y。=Z-ZOImn其中（,y（pZO）为直线上的点，1,小，为直线的方向数。3参数式方程：X=Xq+It<y=y0+Mz=zq+nt4两点式设4（阳，M,zJ,8（%,力，Z2）为不同的两点，则通过A和B的直线方程为Xf二y-M二z-Z占一MV2-.V1Z2-Z5一般式方程（作为两平面的交线）：,x+B1y÷C1z+D1=OS=I1,BpC1×2,B2,C2A2x+B2y+C2z+D2=O6有关直线的问题k士小、1rX-X1y-y1Z-Z1两直线为1:1=JJ1=1imM1X-X2_y-y2_Z-Z212一；一一Z2tn2n24与，2间夹角（6）八11+n,rn+n.n.COSR-F=1二一t2,2,212,2,2y1i+/M1+2+w2+n2垂直条件12+W1W2+2=O平行条件乙=.="I2m1n2四、平面与直线相互关系1与乃间夹角(a)A1÷Bm+Cnsma=/1=A2+B2+C2/2+w2+h21与万垂直条件/_W_7?AC1与4平行条件A1-Bm+Cn=O1与九重合条件A1+Bm+Gi=01上有一点在开上(乙)典型例题例1.求通过Mo(1-1,2)和直线"一)'z+二°的平面方程。2x+y+z-5=0解通过/的所有平面的方程为K"1(x-y-z+1)+K2(2x÷>,+z-5)=0其中K,K2为任意实数，且不同时为0。今把M)(1,-1,2)代上上面形式的方程得Xr1(1÷1-1+1)+xr2(2-1+2-5)=0XT1-IK2=0Kx=2K2由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取K2=1,得K=2,代入方程得2(x-y-z+1)+(2x+y+z-5)=0即4-yz3=0它就是既通过点MO又通过直线/的平面方程。例2求过直线厂+>'-2z+3=°且切于球面，+、2+22=1的平面2-y+z=0解过所给直线除平面2x-y+z=0外的其它所有平面方程为(x+y-2z+3)+(2x-y+z)=0即(+24)+(1-)y+(-2)z+3=0(*).球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是0÷0+0÷3-y(1÷271)÷(1/1)2+(2)"=1得62-2+3=0.4=1±M6§5.3曲面与空间曲线（甲）内容要点一、曲面方程1、一般方程/,y,z）=OX=x(u,V)2、参数方程z=z(u9V)（w,v）P（平面区域）二、空间曲线方程1、一般方程,F1(x,y,z)=Oy,Z)=O2、参数方程y=跑(atZ=ZG)代入（*）得两个所求的平面三、常见的曲面方程1、球面方程设庶（XO，凡，Z。）是球心'R是半径,P（,y，z）是球面上任意一点,则WP1=A,即(X-XO)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.2.旋转曲面的方程（i）设1是XoZ平面上一条曲线，其方程是|/（"Z）=°，1y=0.绕Z轴旋转得到旋转曲面，设P（x,y,Z）是旋转面上任一点，由点%Go，。*。）旋转而来（点M（0,0,Z）是圆心）.由闻=IM4卜|叫=Jf+y,Z.=z得旋转面方程是/(tx2+,z)=O;(ii)求空间曲线绕Z轴一周得旋转曲面的方程K(x,y,z)=OB(x,y,z)=O第一步：从上面联立方程解出x=(z)y=g(z)第二步：旋转曲面方程为一+y2=2(z)+g2(z)绕y轴一周或绕X轴一周的旋转曲面方程类似地处理3、二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面2)2yz1+-=Iabc旋转抛物面+=z(p>0)22椭圆抛物面X2y2+t=z(p,q>O)2p2q双曲抛物面y2V2一丁+9=z(p,q>O)22q单叶双曲面292厂+尸Z-双叶双曲面999Jy-Z-a2b1c2'二次锥面X2y2z2nahc椭圆柱面y21双曲柱面-Z=1a2b2抛物柱面X2=y(P>0)2p四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线C在个平面上的投影先从曲线C的方程中消去Z得到"(x,y)=O,它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的、.H(x,y)=0柱面方程，那么'”z=0就是C在孙平面上的投影曲线方程曲线C在平面上投影或在yz平面上投影类似地处理(乙)典型例题22XJ-1例1、求以点A(0,0,1)为顶点，以椭圆石+§="为准线的锥面方程。z=3,解过椭圆上任一点PaO,mpz°）的母线方程为x=x0t2v2y=y0t因为点（Xo,孔,Zo）在椭圆上，所以亍+（耳=1。而t=z=1+（z01）t=1+2f,将其代入椭圆方程，得锥面的方程为+亡-仁。-=0。22594例2、求旋转抛物面z=x2+/与平面y+z=的交线在孙平面上投影方程解从曲线方程卜='+）1中消去z,得曲线向平平面得投影柱面方程y+z=x2+y2+y=o于是曲线在个平面商得投影曲线的方程为一Z=X=I-2，例3、求直线1：-y=3+t在三个坐标面上的投影;z=2-3t解在三个坐标面上的投影分别为x=0<3>在JZ平面上，y=3+rz=2-3tx=-2tx=-2t1在孙平面上：*y=3+tv2在XZ平面y=0z=0z=2-3t例4、求直线1：T=上=三二!在平面乃：xy+2z1=0上的投影宜线”的方程,11-1并求1o绕y轴周所成曲面的方程。解：过1作垂直于"的平面).,乃”的法向量_/1knn×1=1-12=i+3j+2k11-1故乃*的方程为x3y-2z+1=0投影直线1o的方程为X-y+2z-x-3y-2z+=0(1)=0从(1)+(2)得2-4y=0从(1)-(2)得2y+4z2=0IX=2y