随机信号分析[常建平-李海林]习题答案解析.docx
1-9已知随机变量/的分布函数为O,x<0FX(X)=<H,0x11,x>求：系数左；/落在区间(030.7)内的概率；随机变量X的概率密度。解：第问利用及右连续的性质k=1P0.3<X<0.7=P0.3<X0.7-PX=0.7第问=F(0.7)-F(0.3)F(、"0x<1第问人寸Oe1se1-10已知随机变量才的概率密度为(%)=履一W(-<<+)(拉普拉斯分布)，求：系数左/落在区间(0,1)内的概率随机变量X的分布函数解：第问I1F(X岫=1k=g第问尸国<XX2=*X2)-*XJ=1'"(X)公随机变量才落在区间区，巧的概率PVXX2就是曲线y=()下的曲边梯形的面积。PO<X<1=PO<X1=(x)rfx=如二)第问x0X>01/(X)=J：/(尤)公x0-exx02=<x>01-exx>Q21-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？n=1二项分布n,p>0,np=2n8成立,p,4÷O不成立(OT)分布泊松分布高斯分布实际计算中，只需满足"1OpO.1,二项分布就趋近于泊松分布ke-P(X=Tr=np汽车站出事故的次数不小于2的概率P(Z2)=1-P(k=O)-P(k=1)答案P(2)=1-1.1-01y(x,y)=2e-(3x+4y)OX>O,y>O其它求：系数才？（x,y）的分布函数？po<1o<2?第问方法一：联合分布函数&y（x，y）性质：若任意四个实数4，%伪也，满足axa2,bib2，贝IJPq<X孙，<K/?2=&y(2,，2)+-FXy(4，2)-nP0<X410<y2=(1,2)+%(0,0)-%(10)-(0,2)卡士-刈田P«y)e。ef(vdudv刀法一利用力p<x,o<r2=xr(j)1/(,y)=jo0<x<1,y<X其它求条件概率密度和人3元)？判断才和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度(%)、(y)注意上下限的选取人(X)=匚y(x,)M=,2x,0<x<10,e1sefdy,0<%<1J-X0,e1se人二匚狐(又渺=,fdx,0<y<1Jydx,-1<y<0-y1-y1<y<10e1se1-14已知离散型随机变量小的分布律为XI367P0.20.10.7求：才的分布函数随机变量y=3+的分布律1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。求随机变量y=*的概率密度？随机变量ZTM的概率密度？分析:加)=阳必为也刈(y)=I%(y)k/x(y)+h(y)fxh2(y)答案：zO1-誓y(y)=标eOe1se1U1)=12，x,02()=13，百<0,求随机变量IZ=X+、2的概率密度？Y.=Y=X.+X2解：设k=x（任意的）求反函数'求雅克比J=T介匕（必，2）=W0=jy)=<1-17已知随机变量Xr的联合分布律为f12f1e5尸X=m,丫=,W=O,1,2,求：边缘分布律PX=ni(加二°42)和py=M5=o,2,)?条件分布律Px=my=九和py="x=m?泊松分布Px="=，=0,1,2,Kcorn-3a：<yn-2解：PX=m=EpX=m,y=R2-=1/2=1”8rn-2同理PY=n=PX=m.Y=n=-W=IPX=m,Y=n=PX=mPY=n即X、Y相互独立工（%）/%），Jng）°又随机变量X=XY2=x1+X2z=x1÷x2÷.÷x证明：随机变量X%的联合概率密度为一（%，%，,）=1（%）为（%-%）/（%-%-1）XUX2=BY.X二工一射X=X%=X+X2Y2=X1+X2+X31=X1+X2+.+X,1Yn=Xi+X2+X_+Xn因为IJ1=1,故.r（y"2，）=.（%，%必，"一%一1）已知随机变量X,X2,先相互独立，概率密度分别为工（%）,人（工2）,A）人（%，）=./X（%，%乂，%笫-1）=f（y）力（乃-M）力（%一）Zx(%)=Je-忖，-<x<+求其数学期望与方差？解：£1%=Jxfx(x)dx=x-ecbc=O奇函数EX2=(工心=i偶函数=x2exdx=-(xV")J+fexdx2'00_eIxdx0=-2xe-x)|J00+2J：exdx=21-20已知随机变量才可能取值为-4,T23,4，且每个值出现的概率均为1/5。求：随机变量才的数学期望和方差？随机变量y=32的概率密度？Y的数学期望和方差？OOEX=xkpkk=OOEgW=g(xk)pk>EX2k=1DX=EX2-E2X答案：EX=IfiX2=yDX=罢EY=Efy2=1098DY=幽525Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式/(x)=P/(a4)其中心)=<k=P12»1-25式OO,X=O0为冲激函数/r(y)=*(y-3)+/y12)+/y27)+2/y48)1-22已知两个随机变量a的数学期望为mX=1机丫=2，方差为犬=4,才=1，相关系数。Xy=O4。现定义新随机变量KW为V=-X+2YW=X+3Y求KW的期望，方差以及它们的相关系数？EV=3EW=7EaX+bY=aEX+bEYDV=4.8DW=17.8DaX÷y=2DX+b1DY+2abCx0.13CxyPxy=x1-23已知随机变量,y满足y=0+人，。力皆为常数。证明：Cx=a:PXy=1；：；当加x°且人-华需时,-1<u1jaJ随机变量x，y正交。CXY=RxymxmEY=EaX+/?=amx+Z?EXY=Ex(aX+h)=aEx2'hmx2=C-abCxyPxy=D(Y)=D(aX+/?)=/。(X)=a2x22篇二TX正交ORXy=O=得证EXY=aEx2bmx'aEX2D=EX1-25已知随机变量x,y相互独立，分别服从参数为4和4的泊松分布。求随机变量/的数学期望和方差？证明z=x+y服从参数为4+4的泊松分布。解：泊松分布p=k=j-k=0K-特征函数的定义Qx(")=Ee"X='£()k=0K.k=0K.由=S1(1T7题用过)可得。x()=H"J)Ic=OK.【/、dQx(u)/dJ(*TEX=-*=-=%duw=odunM=O吁=(.睢w=5=+1Jd1i«=o/"一根据特征函数的性质，XY相互独立，Q()=Qx()Qy()=/+表明Z服从参数为4+4的泊松分布1-26已知随机变量x，y的联合特征函数为Qxy（%口）=6-2Jw-3jv-wv求：随机变量X的特征函数随机变量Y的期望和方差解：Qx（"）=QXy（"，。）=Qy(V)=Q(O,v)=膻丫二2jdv(2-Jv)*2d2QM4JV-8d2(2-Jv)4v=01-28已知两个独立的随机变量,y的特征函数分别是。x()和0M)，求随机变量Z=3(X+D+2(h4)特征函数QZQ)?解：特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y独立,因此有3(X+1)和2(y+1)独立独立的等价条件(充分必要条件)f(y)=fx()*f(y)1,n1.E(XkYn)=E(Xk)E(Yn)Qx(u1,u2)=Qxi(u1)Qx2(u2)1-29已知二维高斯变量(XpX2)47，高斯变量X,X2的期望分别为，叫方差分别为蜻届，相关系数为夕°令写出二维高斯变量)的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；证明(X，功相互独立，皆服从标准高斯分布。(1O)系数矩阵A=二P_!J1一-2y1P2>Y=AX，线性变换，故V也服从高斯分布Cij=(Xij)，故匕b不相关'高斯变量不相关和独立等价，Xb独立皆为0，方差皆为，。令%=aXx+X2Y2=aX1-X2其中aw,7w为常数。证明：（匕功服从二维高斯分布；求（1N）的均值和协方差矩阵；证明：相互独立的条件为a=±B°复习：n维高斯变量的性质1 .高斯变量的互不相关与独立是等价的2 .高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3 .高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布Y2a-x2匕,为相互独立、二维高斯矢量因此匕，芍互不相关只要证Cy为对角证即2-2=O>=±1-31已知三维高斯随机矢量X=X?均值为常矢量。，方差阵区22-2证明：X1，*2-，X1/3+2X2/3+X3相互独立。复习：n维高斯变量的性质1 .高斯变量的互不相关与独立是等价的2 .高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3 .高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布思路：设随机矢量yz=工一2一-X1+X2-X1+2+X33由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵Cy为对角阵1OOA=-I1o00231-32已知三维高斯随机变量(,X2,X3)各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求X=X+X2和与=X+X3的联合特征函数？Mx思路：T是线性变换故也服从高斯分布，求得MyCy就可以写出联合特征函数Y1=XX2=÷31OY=AX，线性变换，故V也服从高斯分布M=AMxCy=ACxArN维高斯变量的联合特征函数Qy（"，4）=EejuTr=expjMUU1CyU2=exp-2÷ZiZ2÷Zz22）2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为fx(
