课时过关检测（十九） 利用导数研究函数零点问题.docx

课时过关检测(十九)利用导数研究函数零点问题131.已知X=I是函数段)=加3方2+m+1)x+5的一个极值点.求函数大外的解析式；若曲线J，=/U)与直线y=2x+所有三个交点，求实数机的取值范围.解：(16()=+3x+4+1,由,F'(1)=0,得。=1,(x)=x3-x2+2x+5.(2)曲线J=VU)与直线y=2%+n有三个交点,由g,(x)=x2-3x=0,得X=O或x=3.由g'(x)>0,得XVo或x>3;由g'(x)V0,得OVXV3.：函数g(x)在(-8,0)和(3,+8)上为增函数，在(0,3)上为减函数.g(0)>0,1要使g(x)有三个零点，只需，八、解得5<"V5.1g(3)V0,z故实数，的取值范围为e，5).2,已知函数/(x)=e*-1,g(x)=x+x,其中e是自然对数的底数，e=2.71828.(1)证明：函数A(X)=人用一g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程/U)=g(x)的根的个数，并说明理由.解：(1)证明：易知MX)=HX)-g(x)=e*-1-m-x,所以MD=e-3V0,(2)=e2-3-2>0,所以MI)M2)VO,所以函数MX)在区间(1,2)上有零点.(2)由(1)可知(x)=(x)-g(x)=ex-1-.由K(X)=5+x知xW0,÷o°),而MO)=0,则x=0为MX)的一个零点.又A(X)在(1,2)内有零点，因此MX)在0,+8)上至少有两个搴点.h,(x)=ev-1x1,记(x)=ex-%-则,(x)=ex÷-1.当(0,+8)时，'()>0,因此MX)在(0,+8)上单调递增,易知3(幻在(0,+8)内只有一个零点，则Hr)在O,+8)上有且只有两个零点，所以方程/(x)=g(x)的根的个数为2.3.已知函数X)=h-1nx(A>0).(1)若左=1,求WX)的单调区间；(2)若函数人X)有且只有一个零点，求实数上的值.解：(1)若&=1,x)-nx9定义城为(0,÷),则r=1一：，由/'(x)>0,得x>1;由，(X)V0,得OVXV1,JU)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).(2)法一:由题意知，方程&x-1nX=。仅有一个实根，由k-nx=0,得A=号%x>0).InX,A.1-nx令g(x)=i(r>O),则g(X)=-p,当0<ve时，g,(x)>0;当x>e时，g,(x)<0.g(x)(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，g(x)ma=g(e)=.当Xf+8时，g()->O,当x-0时，g(x)8.又”>0,要使用)仅有一个零点，则=；.1法二：f(x)k-nX,f,(x)=Ar-=-(x>0,A>0)当0<x<时，f,(x)<0;当x>,f(x)>0.f1x)在(0,"上单调递减，在Q,+8)上单调递增，J1x)mn=f()=1-1n/x)有且只有一个零点，1-n1=0,即A=3法三：.”>0,；函数f(x)有且只有一个零点等价于直线y=x与曲线y=1nX相切，设切点为(X°,yo),由y=1nX,k=±,IXo1I得于(斗尸。/=”.实数A的值与<J,o=1nXo,4.(2023*林第三次口研)已知函数4X)=II1X。/+(。一力一1)+1(。，R).若。=0,试讨论人幻的单调性；(2)若OVaV2,b=1,实数总，也为方程HX)=机一or?的两个不等实根，求证：RI*2>4-2.解：(1)依题意知x>0,当a=0时，(幻=3一(5+1).当bW-I时，(x)>0恒成立，此时/U)在定义域上单调递增；当b>一1时，x(,者)时，/(x)>0;x(jJ,+8)时，f(x)<0,故人外在(°，蠢)上单调递增，在(,+8)上单调递减(2)证明：由人x)=m-or2得InX+(a2)x+2-m=0,令g()=1nx+m2)x+2,x>0,iX1In-则g(x)=g(x2)=m,依题意有加x+(-2)x=InX2+(。-2)也，a2tXiX2只需证二；>2(2a)=X1：(不妨设X1V1r2),即证2加叁+"一型VO,XiXiXi'令§=*>1),则g")=21n1f+,XIW(O=AT=_()>vo,g(。在(1,+8)上单调递减，Xg(E)Vg(I)=O,从而有:+>4-24.