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    课时作业(三十四) 等差数列及其前n项和 (3).docx

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    课时作业(三十四) 等差数列及其前n项和 (3).docx

    课时作业(三十四)等差数列及其前项和IA级基础达标I>»1 .已知等差数列斯中,3的=2力,则此数列中一定为O的是()A.aB.俏C.。8D.aoA设为的公差为土等差数列诙中,3的=勿7,3(m+40=2(+6J),化简得=0.则此数列中一定为0的是0.故选A.2.(多选)(2023江苏省太湖高级中学期中)记Sr为等差数列“的前项和.已知S4=0,5=5,则()A.“=25B.67/1=3w10C.S,1=2n2-nD.Sn=n24nAD设等差数列斯的公差为d,因为S4=O,4=5,+4d=5所以根据等差数列前项和公式和通项公式得:,N,八,4+6d=0解方程组得:ci3,d=2,所以。=-3+(-1)X2=2"5,S,="一4.故选AD.1-24-5A.C5-4-B.a3 .已知数列小中,6=2,S=1若数列/J为等差数列,则例=()45C因为数列J;为等差数列,。3=2,47=1,I11I所以数列U的公差d='*f=-1=1,所以:=:+(9-7)×=7,所以IanJ/3/3oC1gC1io49=§,故选C.4.(2023北京市适应性测试)设斯是等差数列,且公差不为零,其前项和为S.则“V“WN*,SnQSJ是“小为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A由V"N",S,+>S“得/+=&+5>0.又数列是公差不为零的等差数列,因此公差d>0(若dV0,等差数列斯中从某项起以后各项均为负,这与小+>0矛盾),数列小是递增数列,所以"V"N*,Sf+>S”是“斯为递增数列”的充分条件.反过来,由“斯为递增数列”不能得知"VWN*,Sn÷>SZ,如取an=n-3f此时数列小为递增数列,但敢=-1V0,即有S2<S,因此"V"N*,S"+>S'不是“"为递增数列”的必要条件.综上所述,“V£N*,Sw÷1>S,是“”为递增数列”的充分而不必要条件,选A.5.(多选)(2023江苏苏州高三期中)等差数列知的前项和为S”,若->0,公差dW0,顺)A.若S5>S9,则S5>OB.若S5=S9,则S7是S“中最大的项C.若S6>S7,则S7>S8D.若S6>S7,则S5>S6BCA错:S5>S9=6+7+8+9VO="+14VO=S5VO;B对:S对称轴为=7;C对:S6>S7=sVO,又m>0,=><0=>d8<7<0=>S7>S8;D错:S6>S7=sV0,但不能得出疑是否为负,因此不一定有Ss>S6.故选BC.6 .(2023浙江宁波高三期中)古有女子善织布,初日织三尺,日增等尺,第四日织九尺,则第七日织尺,八日共织尺.解析:设该女子第("N")日织册尺布,可知数列小为等差数列,设等差数列“)的公差为乩前项和为工,贝”山一3解得?:3'4=+3d=9,d=2.8X7.s=+6d=15,S8=8+J=8×3+28×2=80.因此,该女子第七日织15尺布,八日共织80尺布.答案:15;807 .将数列2-1与3一2的公共项从小到大排列得到数列m,则小的前项和为5"'n.-,ri3-137«-3+2解析:设b,1=2n-1,c”=3-2,b,1=cH则2n1=3w-2,得n=3(ft)=2+1于是机一1=2A,&WN,所以m=2k+1,N,贝Jtn=3(2k+1)2=62÷I,&£N,得z1=6-5,£N".故Sn=1+/×=32-2n.答案:3228 .等差数列m的各项均不为零,其前项和为S”.若=a,+2+a,则S2+=解析:因为斯为等差数列,所以斯+2+*=20+,又*+=an+2+ant所以成”=2小一因为数列仅的各项均不为零,所以为+=2,所以S2"+1=(2n+1)2Xz,"X(2+1)2=4+2.答案:4+29 .己知数列飙是一个等差数列,且“2=1,45=-5.(I)求4的通项公式小.(2)求他前项和Sn的最大值.解析:(1)根据等差数列通项公式a”=ai+(一1)d变形有cn=cm÷(w-n)d,则公差d=-2,an-am叱|、J,。5一他51所以"=MT所以通项公式。”=。2+(-2)d=1+(-2)X(2)=2+5.根据等差数列前项和公式S=”")=砌+d有S"=3+2X(2)=2+4,配方得工=一(-2)2+4,根据二次函数图象及性质可知,当=2时,前项和取得最大值,最大值为4.10 .(创新型)(2023北京朝阳区二模)已知斯是公差为d的等差数列,其前项和为S,且。5=1,.若存在正整数,使得S有最小值.(1)求6的通项公式;(2)求S的最小值.从43=-1,d=2,d=-2这三个条件中选择符合题意的一个条件,补充在上面的问题中并作答.解析:选择作为补充条件:(1)因为。5=1,。3=1,所以d=1,所以知=1+(一5)XI=一4("N)(2)由(1)可知=-3,所以Q=(S*斯)-1w(-7).因为"N*,所以当=3或4时,S取得最小值,且最小值为-6.故存在正整数=3或4,使得S“有最小值,且最小值为-6.选择作为补充条件:(1)因为5=1,d=2,所以m=1+(-5)X2=2"-9("N*).(2)由(1)可知=-7,所以S,尸=n2Sn.所以当=4时,SJ取得最小值,且最小值为-16.故存在正整数=4,使得S有最小值,最小值为一16.不可以选择作为补充条件.»>IB级技能提升11.已知S是等差数列“的前项和,且S6>S7>S5给出下列五个命题:公差dVO;(DS1>O;S12VO;数列S,中的最大项为Su;|词>|阂.其中正确命题的个数为()A.2B.3C.4D.5B因为S6>S7>S5,所以S7-S6=sV0,S6-S5=a6>0,所以<7=。7。60,正确;因为SII=U(Sq=Ua6,且恁>0,所以S>O,正确;因为S6>S7>S5,所以S7S5=06+7>O,所以S12=彳-=6(。6+。7)>0,不正确;因为6>0,«7<0,所以数列£的最大项为S6,不正确;因为。6>0,GV0,且+s>0,所以>一。7,即|俏|>|«7|,正确.综上所述,正确命题的个数为3.故选B.12 .(多选)(2023湖北省鄂州高中高三月考)朱世杰是元代著名数学家,他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()A.4B.5C.7D.8BD依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为如,公差为d=1,设一共放,?(22)层,则总得根数为:,n(-1)d1n(一1)=100Sn=na+2=na1+整理得2=;-+1,因为0N",所以为200的因数,等+(1)22且为偶数,验证可知=5,8满足题意.故选BD.13 .已知数列%是等差数列,且m,。2(02)分别为方程f6x+5=0的两个实根.(1)求数列的前项和汽;(2)在(1)中,设b=急,求证:当c=一9时,数列屹是等差数列.解析:(I)Tai,。2(。1<。2)分别为方程X26x+5=0的两个实根,i=1,“2=5,.等差数列处的公差为4,n(一1).Sn=n÷z4=2n1-n.Iq22n(2)证明:当C=T时,E尸告=-1-1=2,2n-cn2*bn+1b"=2(+1)2=2,b=2.数列儿是以2为首项,2为公差的等差数列.14 .已知数列斯的前项和为S,af10,a1=1f且北泅十=4Szf-3("N)(1)求。2的值并证明:af1+2a,1=2;(2)求数列为的通项公式.解析:令=1得2qq=4S13,又苗=1,所以。2=3由24必”+=4S-3,2an+Cin+2=4Sn÷-3.得,2an+1(w+2-a,)=4an+1.因为*WO,所以。+2一%=2.(2)由(1)可知:数列。1,。3,。5,2-1.为等差数列,公差为2,首项为1,所以。2*-尸1+2/-1)=2%1,即n为奇数时,an=n.数列°2,«4,a,,3t,为等差数列,公差为2,首项为T»所以侬=T+2(kD=2k一',即为偶数时,an=n-.综上所述,an=,为奇数3一菱,为偶数.IC级高分挑战I»>15 .(2023湖北部分重点高中联考)设数列m的前项和为工,且见=1,a今+2(1)5N'),则S12层的最小值是()A.-1B.2C.D.3A如=曰+2(-1),当22时,Sn-S114+2(1),:,"7Sn-S1i=2(-1),.,(-I)S“一S11=2(-1),=2.又?="=1,'数列用是以1为首项,2为公差的等差数列,.*=1+2(-1)=2-1,,S”=22,."£-2"=2/?一222=2332.令y=2-3x2,x21,则y=6x2-6x=6x(x-1)20,且y'不恒为0,,数列S“一2"是一个递增数列,当=1时,S一2层有最小值23=1.故选A.16.我国古代的洛书中记载着世界上最占老的一个幻方:如图,将1,2,,9填入3X3的方格内,使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数1,2,3,,层填入X个方格中,使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为N”如图所示的三阶幻方中的M=15,那么M=()A.41B.45C.369D.321Q1C由等差数列的性质得,九阶幻方中的所有数字之和为1+2+3+92=竽×(1+81)=3321,由于每行、每列和对角线上的数字之和都相等,所以对角线上的数字之和为IX3321=369,所以M=369.故选C项.

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