用不动点法求数列的通项.docx

用不动点法求数列的通项定义：方程/(x)=X的根称为函数/(X)的不动点.利用递推数列/(X)的不动点，可将某些递推关系=f(4)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若f(x)=ax+b(a0,a1),P是f(x)的不动点，。“满足递推关系an=/(f1w-)»(«>1)»则。-P=4(-)，即”一p是公比为。的等比数列证明：因为P是f(x)的不动点.ap+b=p.一=_即由QZI=a,*+b得凡-p=aan_+b-p=a(a1t_x-p)所以4-p是公比为。的等比数列.定理2：设/(x)="""(CO,ad-bcO),ati满足递推关系an=/(aw.1),w>1»cx-d初值条件a。f(ai)(1)：若/(x)有两个相异的不动点PM,则%二2=%.4二！一'(这里女二竺:竺)a.qan_x-qa-qc(2)：若f(x)只有唯一不动点p,则一=5+k(这里欠=2-)4一P«,)-1-Pa+d证明：由/(x)=X得F(X)=国土=X,所以c+("-)-匕=Ocx-d_pd-b(1)因为P闯是不动点，所以卜Prmj)P"=0=所以cq+(J-ci)q-b=0夕_qd-ba-qcpd-ba-pca-pcan_x-p=qdba-qcan-qaan.+Z?PabPan-Qcan1+J(a-pc)an+b-pda-pcaa,1-+bq(a-qc)an+h-qda-qcCattT+d令人纥匹，则9=江口a-qcyq(2)因为是方程以：2+(4一/工一匕二o的唯一解，所以cp2+(d-q)p-b=0所以Z?_Pd=CP2一印，P=-"所以2c叫一I+b(a-),.1+h-pd(a-CP)CI-I+cp2-ap(a-cp)(at1,1-p)an-p=p=c%+dc%+dc,+dCani+d所以1_CartT+d_Ic(zt-P)+d+cp_C+d+cp_+2。Pa-cpa11,1-pa-cpan_-pa-cpa-cpan_-pa_-pa+d令k=2,则_J_=_!+ka+dan-pa,1,1-p例1设%满足q=I,/+1="N',求数列/的通项公式a”X+2”+-2=%+2-2“=_£4+1+1%+2+%2。-2tz1+1解：作函数/(X)=土=，解方程/(X)=X求出不动点P=2,g=-1,于是X巴二2,逐次迭代得色二2=(-1)-1%+14+122n+1+(T)”2n-(-1例2,数列,满足下列关系:q=2Mzt+=2a-ia0,求数列%的通项公式解：作函数/(x)=2-J,解方程f(x)=X求出不动点=,于是X111勺1.I=',-=+-a+-aYa2a(an-a)an-aa4,an所以!是以一!一=!为首项，公差为1的等差数列an-aa1-aaas、i11/I1/八1rrn,所以=F(/?1)=F(/?1)=，所以Q"二dan-aa-aaaaan+h4-c定理3：设函数/(尢)=1(wO,ewO)有两个不同的不动点七,马，且由ex+f2.0解:作函数为/S)=J,解方程/(X)=X得f(x)的两个不动点为土22x+2-2=(/一五)2C1f1+2+2yp2c11cn÷V22/再经过反复迭代,得a.V2n,z2V2x2n-'(7=)=(7=)q+22+J2%-6=(-亚)2=(。“_2-血产+V2tz,-1+V2an_2÷V2由此解得勺=J5(2+)*+(2-¾*(2+2)2"-'-(2-2)r,其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：己知4>0,q1且a,川="+6/+1,求数列旦的通项.4(-÷1)4u2解：作函数为/(X)=+丫+1,解方程/(x)=X得/(X)的不动点为4x(Jr+1)理，.取P=14=1,作如下代换:<t+6%2+1I4+1+1=44(4:+1)="z+4J+66+4%+1=(4+1)凡+11-¼i5+6,2-46z+1an-4azt(z,2+1)逐次迭代后,得：*=a+=+回1)：才(q+1)4)4