合理构造函数解导数问题.docx
合理构造函数解导数问题目录1山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试(数学理)2212.【2007年山东理】(22)(本小题满分14分)23.那么怎样合理构造函数呢？6构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。1.山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试(数学理)22.1YfM=+Inx己知函数(注：20.693)(1)若函数AX)在工+o0)上为增函数，求正实数的取值范围；12(2)当时，若直线y=6与函数y=")的图象在2'上有两个不同交点，求实数力的取值范围：11111,In+-+(3)求证：对大于1的任意正整数234f(x)=+Infx)=竺，(4>0)解：(1)因为ax所以ax(IX1Vx1,-H).,(x)=-0依题意可得，对以一恒成立，所以对DxsU,y)eT°恒成立，x1,+),-a>(-)nm所以对X恒成立，X,即心IX1(2)当=时,"*一2'若x"5'",°,)单调递减;若U,2,u)Oja)单调递增；故/(X)在X=I处取得极小值，即最小值/二°=1-1n2,/(2)=1n2-i又22/()-/(2)=I-2In2=1n1n16>O12所以要使直线y=A与函数y=Q)的图象在2'上有两个不同交点,实数匕的取值范围应为(/"(2),即°'E2-3；1Y/1、f(x)=-+1nxr、(3)当。=1时，由可知，X在"+o°)上为增函数,n当,时，令一T,贝产>1,故/(X)/=0,11,/nXn-1.n1.八/()=-+=一一+In>01n-n-nn-.1即«-1所以-1故122334H-In234n1111In+In+In+,+In+-+相加可得123-1234nIn+In+In+1n=1n()=nn又因为123n-123n-w,1n.>1÷1÷1÷.÷1所以对大于1的任意正整书2342.【2007年山东理】(22)(本小题满分14分)设函数f(x)=f+b1n(x+1),其中b0.(I)当6>g时，判断函数/(x)在定义域上的单调性；(H)求函数f(x)的极值点；福建数学网WWW(I11)证明对任意的正整数，不等式皿1+1)>-4都成立.nnn【解】(I)由题意知，/(x)的定义域为(T,+8),f,(x)=2x+-=2i+2x+8X+1+1设g(x)=2f+2x+6,其图象的对称轴为x=-g(T,+00),g(x)max=gJ=_/+匕.当力时，g(x)max=->0,即8(幻=2/+2%+人>()在(-1,+00)上恒成立，.当Xw(-1+8)时，f,()>0,.当8>T时，函数/(X)在定义域(-1,+8)上单调递增.(H)由(I)得：当时，函数/(X)无极值点.时，r*)=4%=0有两个相同的解工=-1，2x+12Xf1,时，/(x)>0,Xf,÷时，fx)>0».b=;时，函数f()在(一1,+8)上无极值点.当人时，/'(x)=0有两个不同解，=-1+1-2Z?2、,-1-1-2Z?1-1÷1-2Z?n力<0时，X1=<-1,X2=>0,22即王任(-1,+oo),x2-1,+)福建数学网VO时，ft(x)ff(x)随X的变化情况如下表：X(-bX2)-V2(孙+8)f,0+f()极小值Z由此表可知：bv时，/3)有惟一极小值点=T+W-2”业八八1比卜-1>/1-2b0<Z?<Irj,X1=>-1,X,X,(-1+),22-此时，/(幻，/(幻随X的变化情况如下表：X(-1，%)芭(%，X2)X2(孙+8)f,()+00+f()极大值极小值/由此表可知：0<6<；时，/(幻有一个极大值百和一个极小值点-1+1-2Z?=2；综上所述：力<0时，/(x)有惟一最小值点=士2匠至；0<人<；时，f(x)有一个极大值点%=-1712b和一个极小值点-1+1-2Z?X=;XZ?；时，/(X)无极值点.(III)当b=T时，函数/(x)=冗2一In(X+1),令函数z(%)=%3/(x)=A?2+1n(x+1),贝IJhf(x)=3x2-2x+-=3d)-x+1x+1.当x0,+8)时，r(x)>O,所以函数力(幻在0,+8)上单调递增，又(O)=0.x(0,+oo)时，恒有z(x)>力(O)=0,即3>Y-n(x+1)恒成立，故当XW(0,+8)时，有In(X+1)>d一了3.对任意正整数取为'(0,+oo),则有InP1)>±-1nnJnn所以结论成立.例1：(2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题)已知函数/(x)=In(Or+1)+/.x2-aXt若:为y=()的极值点，求实数的值；若y=(x)在上增函数，求实数4的取值范围；若=T时，方程/(1-x)-(1-x)3=2有实根，求实数人的取值范围。X22解：(1)因为X=；是函数的一个极值点，所以尸()=0,进而解得：。=0,经检验是符合的，所以=0.(2)显然/(%)=+32-2x-,结合定义域知道分+1>0在0r+1x1,+oo)上恒成立，所以0且a0°同时3/2一2%一。此函数是工<:,ax+3时递减，X>1时递增，3故此我们只需要保证/(1)=，一+320,解得：0百至.+12(3)方法一、变量分离直接构造函数解：由于x>0,所以：b=x(1nx+x-x2)=1nx+x2-X3g<x)=InX+1+2X-3x2g"(x)=-+2-6x=-XX当O<冗<匕立时，g"()>o,所以gQ)在OVXe匕也上递增；66当/>时，g"(x)<0,所以g'(x)在R>I+,上递减；66又g<1)=0,.g'C)=O,0<x0<1+7.6当0<x<时，g'(x)v,所以g(x)在0<x<x0上递减；当/<x<1时，g<x)>O,所以与vx<1上递增；当x>1时，g'(x)<0,所以g(x)在X>1上递减；又当x÷oo时，g(x)->-,g(x)=x1nX+/-X3=x(1nx+x-x2)Inx÷-当X0时，InX+(<0,则g(x)<0,且g(1)=0一阶导数草ff(x)=-+2-6x=-，g(x)=In%+1+2x-3/,XXg(x)=x1nX+-X3方法二、构造：G(x)=nx+x-x2Gq)=112/+X+_2/1J石+式卜1)XXXXx>0.OVX<1GQ)>0从而G(X)在(Oj)上为增函数；x>tGQ)<0,从而G(X)在(1,400)上为减函数,G(x)G(I)=O而x>06=xG(x)0.b0分析点评：第(3)问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。3.那么怎样合理构造函数呢?(1)抓住问题的实质，化简函数1、已知f(x)是二次函数，不等式/(工)Vo的解集是(0,5),且/(工)在区间-1,4上的最大值12.(1)求/(%)的解析式；(2)是否存在自然数相，使得方程/(x)+包=0在区间(如机+1)内有且X只有两个不等的实数根？若存在，求出所有机的值；若不存在，请说明理由。解：(1)j=2x2-10x(x?)(2)假设满足要求的实数机存在，则/(x)+2=0,即有：X2x2-10x+-=OX2310x+37.r32e八=O,即有：2x'IOx"+37=OX构造函数(x)=2x3-IOx2+37画图分析：进而检验，知(3)>0,(W)V0,z(4)>0,所以存在实数机=3使得3/(外+三=0在区间(3,4)内有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数MX)=23-ioR+37,舍弃了原函数中分母国问题得到了简化。变式练习：设函数/(x)=-6x+5,xwR,求已知当x(1,+8)时，/()H-)恒成立，求实数卡的取值范围。(2)抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：例：已知函数/(%)=+InX的图像在点P(mj(m)处的切线方程为y=x,设g(x)=ZnV_4_2InXX求证：当x1时，g(x)O恒成立；试讨论关于X的方程/nr-2-g(x)=2e+优根的个数。X解证：(1)m=n=(2)方程nvc-g(x)=x3-2ex1+tx,从而2Inx=/一2ex2+txX因为x>0,所以方程可变为网之=/-2ex+t.X令1(X)=网工H(x)=x2-2ex+tf得：1x)=2x.XJr当X(0,e)时，1,(x)>0,1,(x)在(0,e上为增函数;当X(e,o时，1,x)0,1,(x)在x(e,+上为减函数;2当X=C时，1(x)ma=1(e)=,e又H(X)=X2_2ex+r=(x-e)2+r-e2,所以函数MX),"(X)在同一坐标系的大致图像如图所示当”/>2,即/>+2时，方程无解；eeOO当即时，方程一解；ee当”/<2,即/</+2时，方程有2个根。ee分析点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幕函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。（3）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：己知函数/（只=-4+宗3+62_2/_2在区间-1,1上单调递减，在区间1,2上单调递增。求实数。的值.若关于R的方程/（2"）=有3个不同的实数解，求实数团的取值范围.若函数y=10g2b（x）+p的图像与坐标轴无交点，求实数P的取值范围。解：（1）利用/=0得：=；(2)因为/(6=一*+#+9一2%一2得,(x)=-X3+2x2+x-2=-(x-1×x+1)(x-2)歹IJ表得A(-0%-1)-1(-U)IU,2)2KO)出/（6的/V)+00+0/()增-咸_3712增.83减因止IRX）有木4大值/-1)=-f1殳小值.f(1)=-%作12示意图,如图:
