“双减”政策下的解析几何教学—— 以阿基米德三角形教学为例 论文.docx

“双减”政策下的解析几何教学以阿基米德三角形教学为例阜阳市红旗中学王茂快摘要：本论文旨在探究阿基米德三角形在解析几何中的典型应用.开篇首先概述了研究本部分内容的背景.其次，介绍了阿基米德三角形相关的结论及其证明.最后，探讨了从不同的角度出发得出解析几何的教学建议，这样使问题分析得更透彻，思维也更开阔，充分展现了数学的创造美.关键词：双减；阿基米德三角形；数学教学一.背景介绍数学家阿基米德的生平事迹，涉及到数学文化及其对数学的独特见解，引导学生了解数学史，阅读名家名人，当前“双减”政策下，让学生从题海中出来，避免出现提到数学,学生就以为是刷题，而应该是数学思维，数学思想等；人教版选择性必修第一册104面介绍了圆锥曲线的概念，即用一个不垂直圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆，抛物线和双曲线，统称为圆锥曲线，圆锥曲线的发现与研究开始于古希腊，17世纪，笛卡尔发现了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线，其中极点，极线是其重点研究对象.二.定义圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形，由于椭圆，双曲线在求切线斜率时，涉及到隐函数求导，抛物线开口方向向上时，求导较为简单,O为例在课前组织学生用GGB画出其图象，以体验理论与实践相统一，代数与几何的相辅相成，同时，学生也进一步熟悉GGB软件，体现现代数学与经典数学之间的联系，以增加学生学习数学的兴趣，激发学生的探究意识.三.阿基米德三角形结论及其证明绪论1若阿基米德三角PAB底边即弦AB过抛物线内一定点C，则另一顶点P的轨迹为一条直线.,y),B(x,),/X(证明设X则yx)>1(PB:y)2Pxx，由点尸在直线PAJB上，得光yp(xx)yXzOy2一(XPO%)同构方程得直线A8:Vo),(xoX)即XXo2p)2P2此性质具有一般性，给学生10分钟时间，分组讨论，初步形成其证明方法，并通过希沃白板在黑板展示，使抽象的问题具体化，并且探究特殊点C的不同位置，同时，再一次复习数学中文字语言命题的证明方法，即写出已知求证证明等几个环节，学生对同构方程这种构造也有深入的理解，通过体验式教学，学生动手操作能力，运算能力得到进一步提升.箪论2(1)若定。为焦点尸，则P必在抛物线的准线上；(2)若过抛物线准线上的一者作抛物线的两条切线，则切点弦一定过焦点.IY9()Y1r2证明(I)PA'yy(xXPB'yy.xx'且yJ2p.2P此问题作为学生课下思考题，体会数学中由一般到特殊的思想，并且形成理论，为了便于记忆，总结出口诀“一个拆俩，俩个换一个”.结论3阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明设A中点为M,即证PMy轴，则0p(yy),PB.2p(yy2)y2p(y0为)同构方程I0Ixx2PyO0»XXXo由点尸在直线PA,PB上，得XX1p(y00AB:XXp(y0y)且X2所以/通过本结论的学习探究，学生从知识方面加深了证明线线平行的方法，几何问题代数化的特征人教版选择性必修第一册139面拓广探索13,证明反射光线平行于抛物线的对称轴与结论3比较教学.结论4阿基米德焦点三角形(即弦过焦PAB为直角三角形,且P90°占)X12XX2证明由性质2P(X2,x)k2p2pX，k±得、22PPAXXXPPBP2,kPAkPB1由一般地阿基米德三角形过渡到特殊化阿基米德三角形，即该弦过焦点，同时，在上课时，让学生总结证明垂直的方法，学生甲：利用向量数量积为0证明；学生乙：利用斜率乘积为-1证明；学生丙：利用几何关系，如：勾股定地定理，三角形中线等等.人教版选择性必修第一册146面拓广探索16,即过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，以AB为直径画圆，观察它与物线的准线的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论/吗？与结论4比较教学研究结论5在阿基米德焦点三角尸48中，PFAB.形本结论的教学，学生体验数学的运算，运算是数学的童子功，通过草稿纸的厚度来衡量其运算能力.结论6在阿基米德焦点三角形PAB中，(SP4b)minP2.O所以XI1)22xxx2Ipk,PM2p2P2点M(,4Oy)在抛物线C上,与抛物线。交于A,B两点,PAB面积的最小值.2py0p2(2)设A(x,y),B(x,y2):ykx解得X2kiyX2kx'J4O,XX22，所以(xx)>PB:yy2XiXX)SPABi77xM:x2y4）21上的点距离的最小值为4.（1）求P；T九|1一4（2）若P在M上,占PA的两条切A,5是切点，求PAB面积的最大值.AF)1,0p2(2)X24y,AB'XXOX2IxxO2x9xx2O141V12y15OJ12义15V12y°15,_3xdpab41(E1k241k2y4磔（2023全国乙）已知抛物Cix22py（p0）的焦点为尸，且尸与圆线?05四.解析几何在双减背景下的教学建议当前全国在实行新课程教学，在双减背景下，解析几何的教学改革和创新十分迫切，并且这种趋势是难以阻挡的，尤其在当前高考和新教材中体现的非常明显，因此在中学教学时,要充分挖掘中学数学教材，研究数学知识的发展规律及其内在联系，研究中学数学与大学数学的衔接关系，创设新的情境.中学教材编写以现实生活中实际例子为背景，关注了学生现有的知识，注重问题的发生、发展过程，所涉及到的概念、公式以及定理，都力求通过学生了解的事物，并由学生通过观察、讨论、分析、概括得出结论，这样会更重视学生思维能力的培养.参考文献：JTJIJIJ12341111吕林根.解析几何（第四版）M.北京：高等教育出版社，2006张奠宙.中学几何研究M.北京：高等教育出版社，2006李文林.数学史概论（第二版）M.北京：高等教育出版社，2002章建跃.高中数学教材（选择性必修第一册）M.北京：人民教育出版社，2019