092线性代数A及答案.docx
2009学年第二学期线性代数(A卷)一.选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内(B)AB=BA(D)IM=M1 .设AS均为阶方阵，则必有()(A)A+=+B(C)(A+)'=A-i+B12 .已知AB均为阶实对称矩阵，且都正定，那么A8一定是()(A)对称矩阵(B)正定矩阵(C)可逆矩阵(D)正交矩阵q3.设矩阵A=2321、ab+42的秩为2,则()4a+2,(C) a0,b=0(D) a0,b04.设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，A的行列式=2,则卜2£卜(A)-25(B)-23(C)23(D)25A=(%)x,且A的行列式|4=。，但A中某元素沏的代数余子式4尸0,则齐次线性方程组AX=O的基础解系中解向量个数是()(A)1(B)k(C)I(D)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)6 .设四阶行列式D的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,-3,1,2,则D=.7 .向量=1,4,0,2与6=2,-2,1,3的距离和内积分别为和.8 .设向量组。=(1,0,11/=(2次,一1)7,y=(一1,4)线性相关，贝心=.9 .已知二次型/(x1,x2,x3)=x12+22xix2-2x1x3+x1+4x2x3+5xIE½,则4的取值范围为.12. 10.Mat1ab软件中，在命令窗口输入rank(ones(2,3),显示ans=.13. （8分）计算行列式I1111-111D=11-11111-1四、解方程组14. （10分）取何值时，线性方程组x1-3x2+x3=1<x1+x2-x3=-I3x1-x2+x3=-1有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解.五、解答题15. （10分）求向量组a1=（2,1,3,-1）r,a2=（3,-1,2,0/,3=（1,3,4,-2）r,a4=（4,-3,1,1）r的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.'2000、16. （7分）求矩阵A=，I4：的逆矩阵A10010009,（0、17. （10分）设2阶矩阵A的特征值为1,2,对应的特征向量依次为%=,%=1（1）求矩阵4；（2）求A20求18. （6分）求二次型=（y）（1的矩阵A,并求/的秩.六、证明题19. (6分)设48都是阶矩阵，AB=A+B,证明(1) A-E,N-E都可逆；(2) AB=BA.2009学年第二学期线性代数(A卷)答案一 .1.D；2.C；3.C；4.A；5.A.二 .6.2;7.炳，0;8.1;9.-<2<0;10.1.三 .11.<1-10Ar=O12,、0O1；2分rI22、ArB=O13<O2>5分J122、ArB-IA=2-13J-40,8分12. -8(用行列式性质或行列式定义，适当给步骤分)8分当41时,R(A)=R(B)=3有唯一解当A=-1时,R(A)=R(B)=2<3有无穷多解U1此时,8O-4WO-1-2200,-1O-2100Oj基础解系为特解为1=(0,0,1)710分/【210分15.A4-1009>（用初等变换或定义或分块矩阵,适当给步骤分）16.(1)由题意:0、2,，P14P=,所以(O<0,(2)A2010=PA2010P-'1人O220110分17.A=-(22、4,因为MW0,所以R(A)=2；即二次型/的秩为2.六18.(1)因为(A-E)(3-E)=A3-(A+3)+E=E,所以A-石，3-石都可逆。(2)由(1)知E=(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=BA-(A+B)+E所以AB=A+3=84
