2024届一轮复习北师大版 15 等比数列 学案.docx

等比数列【语前学新】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1 .在等差数列“中，。2=-5,46=0+6,则41等于（）.A.-9B.-8C.-7D.-4【答案】B2 .数列斯满足a=1,an+=a11-3（ncN*）,则a4=A.10B.8C.-8D.-10【答案】C3 .已知数列%为等差数列，且=2,©+。3=13,那么则心+的+即等于（）A.40B.42C.43D.45【答案】B4 .设“是公差为正数的等差数列，若q+4+%=15,W2%=80,则即+/+%等于（）A.120B.105C.90D.75【答案】B5.数列4的首项为3,%为等差数列且2=4f+-q,5N*）.若4=-2,1=12,则a=（）.0B.3C.8D.11【答案】B【知钳点】1等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(g0),即：%k=4(g0).an要点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q不能是0；“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个；隐含条件：任一项0且夕0;“见工0”是数列“成等比数列的必要不充分条件；常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；2 .等比数列的通项公式首项为4，公比为夕的等比数列4的通项公式为：4=%q"7(nwN*,qgO)3 .等比中项如果三个数。、G、方成等比数列，那么称数G为。与6的等比中项.其中G=±J茄.要点诠释：只有当与b同号即曲>0时，。与b才有等比中项，且。与力有两个互为相反数的等比中项.当与异号或有一个为零即曲0时，。与b没有等比中项.任意两个实数。与b都有等差中项，且当。与6确定时，等差中项C=土心唯.但任意两2个实数。与匕不一定有等比中项，且当。与b有等比中项时，等比中项不唯一.当曲0时，。、G、6成等比数列。*=20G?=<=>G=±及aGG2=力是、G、b成等比数列的必要不充分条件。4 .等比数列的判定(1)定义法：%立=虱夕0)C1n(2)等比中项法:a；=an+1an,1(an0)5 .等比数列的性质（1）若m,n,p,qwN+,且加+=+/则册q=%,q,特别地，当n+=2p时,zjq=aj（2）下标成等差数列且公差为加的项/,为+,n,4.2m，组成的新数列仍为等比数列，公比为<（3）若叫，也是项数相同的等比数列，则4“、%、kan（上是常数且ZHO是（口、叫（mM,根是常数）、attbn3也是等比数列；（4）连续左项和（不为零）仍是等比数列.即与，$2«$3«-邑成等比数列，该等比数列的公比为八（5）等比数列单调性问题： 当q>1且40时，等比数列“是递增数列； 当4>1且4<0时，等比数列”是递减数列； 当O<q<1且q>0时，等比数列6是递减数列； 当0<q<1且q<0时，等比数列qj是递增数列。当qvO时，等比数列”是摆动数列。(4=1)Dnai6.等比数列的前项和公式：Sn=gi(-qf1)a-gnq.Jq"q【典型例题】考点一：寻此效列通货公式的应用例1已知等比数列”满足=-1,«4=8,则%等于A.32B.-32C.64D.-64【答案】D练1.若等比数列4的第4项和第6项分别是1和16,则其第5项为A.-B.±1C.4D.+444【答案】D4例2.己知数列4满足3用+4=0吗=一，则即）等于A.-4x3-9B.4×39C.×37D.4×37【答案】A练1已知数列4是公比为2的等比数列，且满足a-=0,则%的值为（）。2A.2B.4C.8D.16【答案】C练2.若数列j满足：q=1,。“+=q<"N*）,贝J4=.【答案】8练3.已知等比数列%的公比为2,若出+生=4,则4+4=一.【答案】6例3.等比数列“中,q.%=64,4+7=20,求0.【答案】法设此数列公比为q,则W%="1=64a3+7=axq1+axcf'=20由(2)得：1(1÷)=20(3)/.qO.由(1)得：3)2=64,aq=8.(4)亨W=I2夕4-5/+2=0,解得/=2或42=；当q2=2时，q=2,a11-1,°=64；当=g时，q=32,a1i=<,°=1.法二：:4%=%=的，又%+%=20,/、%为方程f-20x+64=0的两实数根,练1已知等比数列勺中,g=2,44=32,那么用的值为【答案】128考点二：等比中项问题例1.等比数列/中，4=：,4=2,则4与的等比中项是（）OA+4B.4C.±zDq【答案】A练1在等比数列"中，4=2,且+（"=，则6+%的值为一.【答案】5例2.已知数列%是公比为q的等比数列，4%=4,%=8,则q+q的值为a.3B.3C.3或2D.3或一3【答案】D例3.若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则%的值为.【答案】-4练1.如果25,x,y,z,1成等比数列，那么A.y=5,xz=25B.y=-5,Xz=25C.y=5,xz=-25D.y=-5,xz=-25【答案】A练2.设等差数列«”的公差"不为O,=9d.若为是q与知.的等比中项，则上等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】选B.练3.在等比数列q中，4=1,公比q1.若，则"?=（）A.9B.10C.11D.12【答案】C考点三：等比数列性质问题例1.已知等比数列中，4+电=1，。4+。5=-8则公比q=()A.-2B.2C.-D.-22【答案】A例2.等比数列J中，若6,。6=9,求Iog3q+Iog3%+1g3a0.【答案】：是等比数列，44o=%q)=3，8=。4=G%=9,Iog3ax+Iog3。2+Iog3«10=1og3(q。2。34o)=1og3(56)5=Iog395=10例3.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是()A.7B.9C.63D.7或63【答案】D由SiQ9Sao-5io»S30S20成等比数列，.(-5io)2=Sio(53o-520),BP(21-5io)2=5o(49-21),Q97例4.在2和上之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为.32【答案】216：法一：设这个等比数列为“,其公比为Q,827484 q=i'a5=-=a=Wq， J8129q=，q=Q77法二：设这个等比数列为q,公比为人则q=：，5=y,加入的三项分别为2，。4，由题意为,a3,%也成等比数列，Q27：可=§X36,故%=6,%=d%=216.例5.已知等比数列q的公比gw1,则下面说法中不正确的是（）4。m+%是等比数列B.对于&N*,k>1,¾-1+¾+12¾C对于N*,都有Mag2>。D.若则对于任意wN*,都q1+>为【答案】D练1.已知等比数列中，/+。3=1，+5=2,则4+%等于（）A.2B,22C.4D.42【答案】C练2.等比数列4的各项均为正数,且a5a6÷a4a7=18,则10g3a÷Iog3a2+Iog3aw=【答案】10练3.若等比数列/满足。/,用二16",则公比为A.2B.4C.8D.16【答案】选B因为等比数列1J满足44川二16所以为+“r+2=16用÷得d二16.又因为=16”>0,所以夕=4.练4.设等比数列j的前项和为S”，若S6：S3=1:2,51JS9:S3等于（）A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3【答案】C2例1.已知数列%的首项为q=§,a,+1考点8：利用定义证明等比数列用,n=1,2,3,证明：数列,一1是等。+1见比数列.【解析】由q+二含得=4+H数列1是首项为1，公比为J的等比数列.凡22练1已知数列4j中4=1,an+2an,1+3=0(2).判断数列4+1是等比数列，并说明理由【答案】4+1是等比数列4=1,“+T+3=0(zz2).：.an+=-2(an,1+)t数列q+1是首项为2,公比为2的等比数列考点五：等比数列前项和例1等比数列4的前项和为S“,已知S3=出+10%,%=9例q=A.-!B.-iC.-D.-3399【答案】C例2.己知等比数列4中=1,且4+%+-=8,那么S5的值是()。1+%+a5A.15B.31C.63D.64【答案】B例3.设等比数列J的各项均为正数，公比为4,前项和为Szf.若对N二有§2<3S,则4的取值范围是()A.(0,1B.(0,2)C.1,2)D.(0,2)【答案】A练1已知qj是由正数组成的等比数列，S“表示4的前项的和，若q=3,出=144,则S5的值是()69A.一B.69C.93D.1892【答案】c练2.己知数列4满足。e=24,且数列的前2项和S?=3,则数列的前5项和S5等于A.15B.-C.31D.622【答案】C练3.若等比数列4满足%+%=20,%+%=40,则公比q=：前项和Sn-【答案】2；2n+,-2例4.己知等比数列4的公比4>0,且q=1,4a3=a2a4.(I)求公比夕和名的值；(H)若4的前几项和为S，求证："<2.【答案】(I)法一：因为4%=%4，所以4%=%2,所以=4,因为/=牛=4,所以夕=±2,因为勺>0,所以9>0,即4=2.法二：因为4%=%，所以4%/=4/,所以有/=4,所以q=±2.因为。“>0，所以g>0,即q=2.所以生=4.(II)当夕=2时，%=q=2",所以S.=q号2=2"-1.所以=舒=2-r1S1因为言>0,所以r=2-而<2法二：当夕=2时，an=axqn-'=T-.所以S1"二g二2"i.i-qS2n-11所以尹二2-kS1S所以上-2二一4<0,所以口<2,an2-a1,法三：当q=2时，an=aiqn-=2n-1f所以S”二驾二9=21,iq要证2<2,只需要5<24,只需2"-1<2",an上式显然成立，得证.【小试牛刀】1 .若数列4满足%=2",则