2024届一轮复习北师大版 09 弧度制、三角函数概念、诱导公式 学案.docx

目录一、任意角和弧度制2考点一：角的概念和推广5考点二：弧度制和弧度制与角度制的互换7二、三角函数的概念12考点一、三角函数的定义13考点二、三角函数符号判断14考点三、知一求二19考点四、化简求值20考点五、恒等式证明20三、诱导公式24、任意角和弧度制【知例要点】一、角的概念及角的扩展1 .定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。2 .范围：R3 .正角、负角、零角正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。4 .终边相同的角：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S=7p=+h36O,ZZ.集合S的每一个元素都与的终边相同，当女=0时，对应元素为。5 .象限角：能用集合的形式表示终边落在四个象限以及坐标轴上的角如：终边落在第一象限的角：A360°VaV900+>360°,Zz或2k乃<a<2k,kzj思考：第二象限角？第三象限角？第四象限角呢？终边落在)'轴上的角：=七r+cz或=90°+h180°,kwZ思考：X轴上的角构成的集合呢？6 .角的运算：掌握基本的角的运算如“4±。,2万±二,乙±二,2二,区”等22a7 .、一、2之间的关系2(1)若。终边在第一象限a则5终边在第一或第三象限；2a终边在第一或第二象限或y轴正半轴。(2)若终边在第二象限Qf则终边在第一或第三象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。(3)若终边在第三象限则终边在第二或第四象限；勿终边在第一或第二象限或y轴正半轴。(4)若终边在第四象限Ci则终边在第二或第四象限；勿终边在第三或第四象限或y轴负半轴。8.易混浙概念(1) “锐角”是指O<v90的角(2) “()9()的角"是指O<9()的角(3) “小于90的角”是指v90的角(4) “第一象限的角”是指2火乃VaV2M+5,kwz所表示的角。二、弧度制1 .定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。2 .弧度与角度的换算：180。=万&/,1阳d=(乎卜57.30。=57。18'3 .弧长与扇形面积公式：弧长公式：=«r扇形面积公式：S=Zr=-Ia1r22211三、特殊角的三角函数：一些常见的、特殊角的三角函数值需要熬练记忆，如:a064322T3T563T2Sina0223TI立22T20-10CoSa1W22T202一立2.迫2-101tana0313不存在-有-1.且30不存在0【考点分类】考点一：角的机念和推广【例1】与一457°角终边相同的角的集合是()A.aa=Ar.36Oo+457°,女GZB.a|a=Z360。+97°次ZC.=%360°+263°,kcZD.0二底360。263°,丘z【答案】C【例2】在0360之间与一35°终边相同的角是()A.325oB.-125oC.35oD.235°【答案】A.【例3】将一885。化为+Ar360o(A:Z,0o<a<360°)的形式是.【答案】195o+(-3)×360o【例4G)写出720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合.(2)与1991°终边相同的最小正角是绝对值最小的角是.(3)若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为(4)在0°到360°范围内，与角-60°的终边在同一条直线上的角为.【答案】(1).708°,348°,12°,372°(2) .191°与-169。：(3) .aa=旌360°+135°,%Z)；(4) .120°与300°【例5】写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）【答案】（1）0450+M350a900+4350Z:（2） -120°+Ar.360oa15Oo+攵360°,%eZ.【例6】设集合A=xb360°+60°vx<A360°+300°zB=11h360210"<x<A360Mz,求An8,AjBo【答案】YA=xA360,+60'vxvR360'+300,Rz8=kh360°+150<x<k3+360",%z.AnB=火360“+150。<<A360d+300°z;A=x360o+60,<x<360o+360zo角20终边的【例7】已知角。是第二象限角，求：（1）角区是第几象限的角；（2位置。【答案】：k360a+90°<a<k360°+180°,C1：.h180°+45o<-<j1180o+90°：2c1a当人为偶数时，上在第一象限，当改为奇数时，丝在第三象限；22即：区为第一或第三象限角。22k-360'+180o<2a<2k-360°+360°,2的终边在下半平面。考点二：弧度制和孤度制与角度制的互换【例1】下列命题中，真命题是（）A. 1弧度是一度的圆心角所对的弧B. 1弧度是长度为半径的弧C. 1弧度是一度的弧与一度的角之和D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小【答案】解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D为真命题.【例2】(1)将角度转化成弧度：10o,15o,18。,20。,30°,45。,50°,60°,75。,90°,120。,135。J50°,180o,225o,405oJ°,7°(2)将下列弧度化为角度.25【答案】：(1)略(2)5730o,1806045o,30,120o,1503,29【例3】一三乃的终边所在的象限是()12A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限291919【答案】选D.一二；r=-4"+上演上万终边落在第四象限121212【例4已知a=9rad,0=1Orad,下面关于a知的说法中正确的是()C.分别是第二象限和第三象限的角D.分别是第三象限和第四象限的角【答案】C【例5】已知60o=k乃+(1»2，ZZ,则角。的终边所在的象限是4【答案】分攵为奇数与偶数讨论.JT当Z=2+1,Z时，a=(2w+),eZ,这时为第二象限角.4JT当攵=2","Z时，a=2n,"Z,这时为第一象限角.4综上：a的终边所在的象限是第一或第二象限。【例6】扇形的圆心角是72°,半径为5,它的弧长为,面积为o【答案】25兀2解析72=-rad,.I=7×j=24.5S=S=×2-×5=5.2【例7】已知扇形的半径为R,所对圆心角为a,该扇形的周长为定值c,则该扇形最大面积为O【易错题】【例1】下列命题是真命题的是()A.三角形的内角必是一、二象限内的角B.第一象限的角必是锐角C.不相等的角终边一定不同D.za=A360c±90A:z=za=Ar180o+9(,Az【答案】D【例2】已知a、4角的终边关于y轴对称，则a与夕的关系为。【答案】-2k+(-a),kZ；【例3】若。是第二象限角，那么与和90-°都不是0A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】B例4已知集合M=卜X=T+；Jezj,P=x=午+三,%ez,则（）A.M=PB.MnpC.MaPD.MP=O【答案】B【课后检测】1 .若。是第一象限角，则下面各南中是第四象限角的是（）A.90o-aB.90°+C.360o-aD.180o+a【答案】选C.为第一象限角，那么一a为第四象限角，而360°-a与一a的终边相同。2 .若a=450+Z18OCuZ）,则。的终边在（）象限A.第一或第三B.第二或第三C.第二或第四D.第三或第四【答案】A3 .已知A=第一象限角,B=锐角,C=小于90°的南,那么A、B、C关系是（）A.B=ACB.BC=CC.Ac1CD.A=B=C答案：B4 .求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：(1) -210°：(2)-1484o37【答案】(1)V-2100=-360+150°,与一210°终边相同的角的集合为aa=b360"+150°,2z°其中最小正角为150°,最大负角为一210°。(2) V-148437'=-5360o+315o23',与-148437'终边相同的角的集合为11a=A360°+315°23'Mz,其中最小正角为315°23',最大负角为一44'375 .已知。为第三象限角，则区所在的象限是（）2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限【答案】D6 .已知一个扇彩的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.【答案】弧长=R=R,3R=6,A=2;于是S=-R1=2（cm2）【课后作业】.与405。角终边相同的角（）C. Zr360o+45oZD. 180o+45oZ【答案】A1 .将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（）CC乃cA.-B.C.CD.一3366【答案】A3 .已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是（）_2A.2B.C.2sin1D.sin2sin1【答案】B4 .在0到360范围内，与角-60的终边在同一条直线上的角为【答案】120°与300°5 .已知集合A=x二+Qrx工+Kr,kZ,B=X2-4<0,求An8。32卜哈U6 答案：AB=7 .已知2+2At<。°生+2%,2Z"</<工+2%），其中左Z,求+夕的范围。444【答案】(J-2kr,÷2k)kZ41jrjrjr8 .设两个集合M=xx=1,keZ,N=xx=k,女Z,试求M与N之244间的关系。【答案】N是M的子集二、三角曲教的概念【知例要点】1.1 三角函数的概念.在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点尸(除了原点)的坐标为a,V),它与原点的距离为“r=Ji7i77i7F=G77>o),那么比值上叫做a的正弦，r记作Sina,即Sina=);rY(2)比值f叫做a的余弦，r记作COSa