第六章 6.4.3 第1课时.docx

本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法2会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识梳理梳理教材夯实基础N知识点一余弦定理在AABC中，角A,B,。的对边分别是,b,c,则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达/=从+c2-2bccosA,从=+24ccosB,/=42+/-2abcosC推论庐+/-Mc'A-2bc'/+/力2COS82讹,cr-1rc1cosJ2ab思考在2=+c2-2bccos4中，若4=90。，公式会变成什么？答案/=庐+（?,即勾股定理.知识点二余弦定理可以用于两类解三角形问题1已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角4,B,C和它们的对边小b,C叫做三角形的送已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.思考辨析判断正误1 .在a48C中，已知两边及夹角时，ZXABC不一定唯一.（X）2 .在aABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.（）3 .在aABC中，若/+/一=o,则角C为直角.（）4 .在aABC中，若/+/一（.2>0,则角C为钝角.（X）题型探究探究重点素养提升N一、已知两边及一角解三角形例1(1)在aABC中，已知b=3,c=25,A=30o,求a；(2)在AABC中，已知b=3,c=33,8=30。，求角A、角C和边a.解(1)由余弦定理，得a2=从+c2-2bccosA=32+(23)2-2×3×23cos30o=3,所以a=5.(2)由余弦定理/?2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(33)2-2«×33×cos30°,即/-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时，A=30o,C=120°；从+/-q2当a=6时，由余弦定理cosA=而=0,A=90。，C=60°.反思感悟已知三角町的两边及一角解三角彩的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对甭，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.跟踪训练1已知在4A8C中，a=1,b=2,cosC=；,则C=；SinA=.答案2华解析根据余弦定理，得(=a2+b1-2abcosC=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得COSA=十;jf"=，,所以SinA=yJ1一(J)?=理二、已知三边解三角形例2在aABC中，已知4=7,b=3,c=5,求最大角.解.a>c>b,A为最大角.由余弦定理的推论，得从+c2-O232+52-722c°sA=-诙-=2X3X5=2又.0°<A<180°,AA=120°,，最大角A为120°.反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.跟踪训练2在aABC中，已知。=2%,Z>=6+23,c=43,求最小角.解易知<c<"，角A为最小角.庐+/CT根据余弦定理，得CoSA=6_(6+2小)2+(4小一(2而尸2×(6+23)×432,VA(0,),三、利用余弦定理判断三角形的形状例3在4ABC中，若“cosB+coSC=力+c,试判断该三角形的形状.解由cosB+cosC=Z>+c并结合余弦定理，02÷c2-Z?22÷Z>2-C2得下%C+2ab=力+以整理，得S+c)g2/，)=0.因为b+cO,所以/=+c2,故4ABC是直角三角形.反思感悟(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论AABC为直角三角形台/=/+/或d=/+"或/=2+02人"?为锐角三角形台层+/,且从+c2>q2,且d+/AABC为钝角三角形台/+护:2或庐+c2<或c2÷tz2<2.若sin2A=sin28,则A=B或A+8=，跟踪训练3在aABC中，内角4,B,C所对的边分别为小b,c,若c2=bccosA+cucos8+HcosC,则AABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案直角+d-CT+dIra2+从一d解析由余弦定理得?=bc黑+"黑+他黑，即d=+/,.ZXABC为直角三角形.基础巩固学以致用随堂演练31一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一9则三角形的第三条边长为（）A.52B.2C.16D.4答案B解析设第三条边长为X,则x2=52÷32-2×5×3×（-t）=52,=2.2.在aABC中，a=7,=43,c=T3,则aABC的最小角为（）4C兀一a3b6c4d12答案B解析>">c,C为最小角且C为锐角，+从一?由余弦定理，得COSC=说一_72+（4V3）2-（VT3）2_2×7×43-2，又.c为锐角，.c=也3.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c,若/一加十，=小双，则角B为（答案A解析,.'a2-b2-c2=yac1C4+/一SaC小.C0SB=TTZ='，=O又B为aABC的内角，8=表4 .边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.90oB.120oC.135oD.150o答案B解析设aABC三边分别为A8=5,AC=I,8C=8,则由余弦定理得nAB2+BC2-AC25?+82-7214A八人上区cosB=2ABBC=2X5X8=E'B为XABC的内角，ZB=60o,9：BOAOABiA>B>C,，最大角与最小角的和为A+C=180o-B=120o.5 .在aABC中，已知=2,Zj=22,C=15°,则A=.答案I解析由余弦定理，得，=/+尻-2出TCOSC=84小，所以c=-由余弦定理，得COSA=归寂止=乎，又A为AABC的内角，所以A=课堂小结1 .知识清单：（1）余弦定理.（2）余弦定理解决的两类问题.2 .方法归纳：化归转化、数再结合.3 .常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.课时对点练注重双基强化落实1已知在aABC中，a=tb=2,C=60°,则C等于（）A.3B.2C.5D.5答案A解析由余弦定理，得=12+22-2X1X2cos600=3,所以c=3.2 .（2019安徽合肥八中质检）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为,b,c,且a：6：=3：5：7,则此三角形中的最大角的大小为（）A.150oB.120oC.92oD.135o答案B解析设a=3k,b=5k,c=7A(Q0),由余弦定理，得COSC=12,a2+b2-c19公+253一49斤-2ab-=30?因为C为aABC的内角，所以此三角形中的最大角C=120。.3 .(2019四川绵阳中学月考)已知aA8C的内角A,B,C的对边分别为小b,c.若=5,C2=2,COSA=则人等于()A.2B.3C.2D.3答案D解析V=5,c=2,COSA=1,./+c2a2从+452，由余弦,理，可得cosA:2×2=3，整理可得3户一助一3=0,tb=3或b=-I(舍去).4 .若a48C的内角A,B,C所对的边分别为,b,c,满足(+b)2-=4,且C=60。，则ab的值为()A.B.8-43C.1D.答案A解析由余弦定理c>2=/+从一2MCoSC=(a÷b)22ab2abcosCt.*.(a+b)2-cr=2cb1÷cosC)=2曲1+cos600)=3。b=4,4/.ab=5 .在aABC中，角A,B,C的对边分别为0,b,c,若4=3,b=2fCoS(A+8)=；,贝IJC等于()A.4B.15C.3D.7答案D解析由三角形内角和定理，可知cosC=cos(A÷B)=又由余弦定理，得c2=/+/?-2Z>cOSC=9+4-2X3X2x(-*17,所以c=yj.6 .在a48C中，内角A,B,。所对的边分别为小b,c,已知=小，且护+c2=3+加，则角A的大小为.答案60°解析Ta=小，且加+d=3+尻，,.*.2+c2=2÷>c,：庐+。2一=bc,b2+c2a21,cosA=-6=2»V0o<A<180o,A=60o.7 .在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/+从<，且SinC=坐，则C答案y+吩一解析因为+从<洛所以CosC=2J<°,所以AABC是钝角三角形，且G名又因为SinC=孚，所以C=号.8 .在aABC中，a,b,C分别是角A,B,C所对的边，且，匕是方程f-5+2=0的两个根，C=60。，贝IJC=.答案19解析由题意得+b=5,H)=2.由余弦定理，得c2=tJ2÷Z>22ahcosC=a2-b2-ah=(a+h)2-3ah=52-3×2=9t所以c=，病.9 .在AABC中，：c=2：4：5,判断三角形的形状.解因为：力：c=2：4：5,所以可令=2%,b=4k,c=5k(k>0).所以C为钝角，从而aABC为钝角三角形.10 .已知A,B,。为4ABC的三个内角，其所对的边分别为,b,c,且2cosg+cosA=O.(1)求A的大小；(2)若=21b=2,求C的值.解(I)VcosA=2cos5一1,2cos22÷cosA=O,2cosA÷1=0,cosA=,.*.A=120o.(2)由余弦定理，知=b2+c2-2bccosA,又a=2小，b=2,CoSA=-3，化简，得c?+2c8=0,解得c=2或C=-4(舍去).g综合运用11 .在AABC中，已知=qc且c=2a,则CoSB等于()A4b-4C*D普答案B解析t,b2=actc=2a,.b1=2a,d-c-b12+42-2«23c°sB=方=2X2。=不.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()解析设该等腰三角形为AABG且4,B,C所对的边分别为mb,c,顶角为G周长为因为=5c,所以=b=2c,z_丁+加f24c2+4c2-C27由余弦定理，cosC=-市一=2×2c×2c=8-12 .在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,则实数。的