第38讲 空间直角坐标系与空间向量.docx
第38讲空间直角坐标系与空间向量链教前二芬基因本回归本源办断为先绘合为主激活思维1 .若O,A,B,C为空间四点，且向量宓，0B,沆不能构成空间的一个基底，贝J()A.0Af0B,沆共线B.0A,西共线C.0B,沆共线D.0,A,B,C四点共面2 .已知在正方体ABCO43CIO1中，点E为上底面AiBiG。的中心，若AE=AA+xAB-yAD,则x,y的值分别为()A.1,1B,1,；C./；D.3，13 .若正四面体ABC。的棱长为2,E,尸分别为BC,AO的中点，贝I£：尸的长为.4 .设。为空间中任意一点,A,8,C三点不共线，且舁=,/+营为+而匕若P,A,B,C四点共面，则实数F=.5 .设小。分别是平面扇夕的法向量,«=(-2,2,5),当。=(3,2,2)时，与4的位置关系为;当。=(4,-4,10)时，与尸的位置关系为知识聚焦1 .空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与bS0)共线的充要条件是存在实数2,使得a=b.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p=xa+yb,其中MyR,a,力为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量。，。，C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得P=W+地+zc,0,b,c叫做空间的一个基底.2 .空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量,4在空间任取一点。，作=,OB=b,则NA03叫做向量。，方的夹角，记作，其范围是.若。，h)=5,则称与b,记作aVb.两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积，记作,即ab=.(2)空间向量数量积的运算律(M6=.交换律：ab=.分配律：0S+c)=b+c.3 .空间向量的坐标表示及其应用设=(,。2,。3),b=(b,bi,加).向量表示坐标表示数量积ab共线a=b(bOfR)垂直ab=O(aOfb0)模4亩+质+*夹角。，b)(0,b0)COS。，方=。曲+2b2+43b34次+质+质/讨+胡+优4.两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量设直线平面a,取直线I的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.5.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线/1,/2的方向向量分别为21hn/nn=nI山2w1±n2<=>n2=0直线/的方向向量为，平面a的法向量为m1an±m<z>m=0I1an/m<=>n=m平面Q,£的法向量分别为fman/m>n=ma.1w±m<z>in=OM题里二融合贯通素养导间能力为堂思堆为品分类解析目标1空间向量的线性运算题1如图，在平行六面体ABCO-AiBiCQ中，设扇I=G,前=4Ab=C,M,N,P分别是A,BC,GZ)I的中点，试用,"c表示以下各向量：份；脑；宓+祐.（例1）目标2共线定理、共而定理的应用-(1)若A(-1,2,3),8(2/,4),C(m,几1)三点共线，则加+=.(2)已知4,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点0,若点M满足丽=(0A+B+C).判断必，MB,京t三个向量是否共面;判断点M是否在平面ABC内.二如图，已知斜三棱柱ABe-A1IC1,点M,N分别在ACI和BC上,且满足屐/=加|,BN=kBC(Ok).判断向量疯是否与向量筋，筋1共面.(变式)目标3空间向量数量积及其应用如图，己知空间四边形ABCO的每条边和对角线长都等于1,点、E,F,G分别是A8,AD,Co的中点.(1)求证：EG1ABx(2)求EG的长；(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.(例3)J如图，在平行六面体ABCO-ABao1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60。.(1)求AC1的长；(2)求防I与公夹角的余弦值.(变式)目标4向量法证明平行、垂直卜如图，在四棱锥P-ABCD中，PC_1平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD,ZB=ZC=90ofA8=4,CD=I,点M在尸3上，PB=4PM,PB与平面ABC。成30。的角.(1)求证：CM平面PADx(2)求证：平面平面RID（例4）变式如图，在多面体48C48C中，四边形AiABB是正方形，AB=ACfBC=GAB,当。80且8|。=；8。，二面角Ai-AB-C是直二面角.(1)求证：AiB1_1平面A4C；(2)求证：AB平面4GC(变式)课堂评价1 .如图，在平行六面体48COAiBCQ1中，M为4G与BIrh的交点.若AB=a,AD=b,A4=c,则下列向量中与就相等的是()A.一呼+菱。+CB.2+R+cC.-ab+cD.ab+c2 .在空间直角坐标系中，已知A(123),B(-2,-1,6),C(3,2,1),0(4,30),则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3 .已知A,B,3。是空间不共面的四点，且满足通危=0,ACAD=O,AbAd=O,M为BC中点"则aamo是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定4 .已知A(IQo),8(0,1,1),血+2为与丽的夹角为120。，贝JA=.5 .如图，已知空间四边形OWC,其对角线为。8,AC,M,N分别为。4,BC的中点，点G在线段MN上，且流=2城，若花=x+），彷+z沆，则X÷y÷z=.（第5题）第2课时二面角木齐导同能力为重思维为条册题型融合贯逾分类解析目标1求二面角题1在如图所示的几何体中，AE_1平面ABC,CD/AE,尸是8石的中点,AC=BC=,NAC8=90。，AE=2CD=2.(1)求证：DFX(2023连云港期中)如图，在四棱锥PABC。中，AB1AD,PA1PDf平面布。_1平面ABCD(1)求证：平面附8_1_平面尸CQ；(2)若BCAD,AB=BC=AD=i,AP=1求钝二面角APC。的余弦值.FffiABE;(2)求二面角A8。一£的余弦值.（例1）ITi1 .在正方体ABCD-ACD中，E为BB的中点，则平面MED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A-2B-3C坐DW.如图，已知四棱锥P-ABCO的底面ABCO是等腰梯形，48C。，且AC.1BD,AC与BD交于点、0,PO_1底面A8CO,PO=2,AB=2y2tEf尸分别是AB,AP的中点，则二面角产一0EA的平面角的余弦值为.(第3题)目标2与二面角有关的探索性问题做12如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCo为直角梯形，ADBC,ZADC=90°,平面底面ABC。，。为AO的中点，M是棱PC上一点，PA=PD=2,C=AD=1,CD=3.(1)求证：平面P8C_1平面PQ&(2)当PM的长为何值时，平面QM3与平面POC所成的锐二面角的大小为60°?（例2）变式(2023永州二模)如图，在四棱锥P-ABCQ中，B4_1平面ABCQ,AD/BCfAD1CDf且AD=CD=2吸,BC=4®PA=2.(1)求证：AB1PC；(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°?如果存在，求与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.(变式)课堂评价1 .（多选）如图，在多面体OABDC中，AB=CD=2,AD=BC=2y3fAC=BD=yOf且。4,OB,。两两垂直，则下列结论中正确的是（）（第1题）A.三棱锥。一45C的体积是定值B.球面经过点A,B,C,。四点的球的直径是T5C.直线08平面ACOD.二面角A一。一。的平面角等于30。2 .已知点£,尸分别在正方体ABCD4BCO的棱83,CCi±,且BIE=2EB,C尸=2FG,则平面AE尸与平面ABC所成的锐二面角的正切值为.3 .（2023镇江期中）如图，在三棱柱ABC-AIBQ中,侧面ABBiA是矩形,AB=2,4=22,。是AAi的中点，BD与AB交于点O,且CO_1平面ABBiAi.（1）求证：BC11ABi;（2）若OC=OA,求二面角D-BC-A的正弦值.（第3题）SS提示-趁热打铁,事半功倍-请同学们及时完成一轮配套精练中的练习。
