洛必达法则.docx
第二节洛必达法则贵州大学.，1-型的不定式0定理1若(1) lim/(x) = 0 , lim F(x) = 0 .x-ax>q(2)在，点的无心邻域内,/，尸可导，且k(x) wO.(3) lim- 存在(或为00 ).XU k(X)贝 I lim /(x) = lim /'尸fz F'(x)这种求极限的方法，称为 洛必达法则.址田 lim / =° , hm = U.XT aXf Q点x = 有两种可能：x = a为连续点.(2)x=a为间断点,那么 =，是可去间断点.于是,可定义/(。) = 0, F(a) = 0 .在羽a或a,x上J(x),方(x)满足柯西定理的条件.fM_=(x) -。= /a) - f(G . f 解) J在与 x之间.F(x) - F(x) - 0 - F(x)-F(a) Fg).令 x f a,有 Jfa./. lim /(%) = lim /'O =lim -证毕.xt a丽xfa Fx)4 r sm ax例1 求lima。sin bx刀 sin ax r触1盘而二黝(sin ax)'nm a cos or = a(sin bx)'一° b cos bx b如果 lim/'。）（。型'继续使用洛必达法则X-4I -方(x)0fM定了为止）.尸'（x）求 hm x -3x+2%3 - %2 - x +1 V3x+2/0三八3x2-3 10刑、lim 32型 | = lim I _ 型ex -% - %+10 ) -i3x - 2x-10 )i6x 22求 limx-sinxx0 工3吧J18型)=同318型工由霁;6还要指出，当X -8叼里日勺不定式，也日不日应日勺洛必必法贝即limX>00= limX->00=lim/丁）、（定了 为止）X>00 F（X）71-arctan xlim-x>+00 1匹解 lim 2% 、-arctan x.q i_1_lim 1+x2 = limx>+oo型I。J_Lx2X2二i.limx-a(xf 00)002-型的不定式00定理limX(X-8)lim（X）尸（定了为止）.解lim00lim =一责+宠晨I7Uinn+00I / U八(2 > 0) yca(a>0)%一+00x震n-nx 一limXf+8 -Inx 董nx例6衣，lim名 名（为正整数,左>0）.lim -Qoo eX>+CO解 相难使用罗必达法则次，得xnlimx->+00 才 X1 一型 |= lim100 Xf+8X>+00nxnx IT7、00 ,A一型二limn(n l)x一之001型Xf+COk2ekxco y.=lim n' - 0z+8 kzekx .3.其他类型的不定式其他类型的不定式是指8 00型,0.8型，0°型，型，8。型的不定式.他们可通过适当的变换后，化为9型，或三型后,000再用罗必达法则计算.例7 求 lim xnnx (>0).x-0+解 lim In 0s型)=lim In x ( oox>0x>0 I I QO1X9二lim - 二lim n = 0.xfo+ n %-o+ yiY+ ilim(sec x - tan x).71X-2lim(sec x - tan71Xf2二项x) (oo 一 qo 型)=limx- I2、lim -cos x%，-sm*1 sinx、cos x cos %(定了) 二 0,(00 Q0例9求limZ.lim x-lnx(O-oo)0 id+= e 1.解 lim ，(0° 型)=lim ex lnxx-0+) Xf 0+r, 8。方法类似.例 10 求 lim tan x x一。x2 sin x解 为了使计算简化，我们可以用等价无穷小量代替.% =lim tan x- xsin x 3 x3lim tanx-tanx-x。x2 sin x 3 x2 - xsec2 %-im se°2 x tanx1。 3x2 a。 6x_ see2% tanx 1-lim二 一 3 3 x 3雾后我仍推出个洛野达琴则是普壬型？变"理的小定式的值的:便简辐笛辘嗯撕舞再撤'鬟癫J求值.当用洛必达法则时,lim J W不存在（8除外）或求不出.不能说lim /（幻不存在.这时,需用其他方法求值.-例如 lim x + sinxooXT9 X1 +cos x不存在.= limXf 00口1不能说lim' + sm不存在.18 X因为lim山也Xf8X/=lim 1 + J-X-ool Xsinx-1.作业：1、用洛必达法则求下列极限:y7(1) Hm 一Xf+00"!曹(1-f)门(5)lim| X>0 I X71tanx;、2(4)lim J Xf+8arc cotxsinx1(6)lim(2sin x + cos.xf 0xlnx2、1S/ (%) =<! i-xTX W 1,讨论/'。)在1= 1处的连续性及可寻性.3、设g(x)在x = 0处二阶可导，且g(0)=O, /(%)=x w 0,试确定值Q,x = 0,使函数f(x)在x = 0处可导，并求T(O).
