第一篇 第2练.docx

第2练复数与平面向量明晰考情1.命题角度：复数的四那么运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.考点一复数的概念与四那么运算【要点重组】(1)复数：形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中a,6分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.假设6=0,那么a+6i为实数；假设6#0,那么3+员为虚数；假设a=0且60,那么a+历为纯虚数.(2)复数相等：&+bi=c+di=a=c且6="(a,btc,R).(3)共扼复数：8+历与c+di共舸=a=c,b=-d(a,b,c,R).(4)复数的模:向量应的模T叫做复数z=a+6i(a,6R)的模，记作IZ1或a+6i,即IZ1=I&+6i=r=ya÷>2(r0,rR).(5)复数的四那么运算类似于多项式的四那么运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共朝复数.i4-2i1(2019全国1【)丁丁等于()A43A-i5121B.-÷iDD314D-5+5i3,4,=4-155应选D.2 .a,6R.i是虚数单位.假设ai与2+历互为共轲复数，那么(a+Ai)?等于()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案D解析由得a=2,力=1,即a+bi=2+i,(a+M)2=(2+i)2=3+4i.应选D.3 .i是虚数单位,a"£R,那么"a=b="是"(a+bi)2=2i"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当a=6=1时，(a+历)2=(1+i)2=2i,反过来(+历)2=/一炉+24历=2i,那么d-4=o,2ab=2,解得a=1,6=1或a=1,b=1.故"a=b=1"是"(a+bi)2=2i的充分不必要条件，应选A.4 .复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位，那么Z的实部是.答案5解析Z=(1+2i)(3-i)=5+5i.故Z的实部为5.考点二复数的几何意义【要点重组】(1)复数z=a+bi-对应复平面内的点ZQ")(a,bR).复数z=a+历(a,Z>R)一对应平面向量应5 .设aR,假设(1+3i)(1+ai)R(i是虚数单位)，那么a等于()1 1A.3B.3C.D.答案B解析(1+3i)(1÷ai)=1+ai÷3i-3a,V(1÷3i)(1+ai)R,二虚部为O,那么a+3=0,Ja=-3.6.（2019株洲质检）设复数Z满足（1+i）z=i,那么IZ1等于（）Aw乙D.2C.2答案A解析由(1+i)z=i,=1+1i1-i22三近'!1+i1÷i7 .如图，在复平面内，复数Zi,Z2对应的向量分别是应，应，那么Z+z2=答案2解析由题意知，z=-2i,Z2=i,z1+z2=-2,z+zz=2.8 .复数Z二答案二i+i2+i3÷÷i20191÷i,那么复数Z在复平面内对应的点位于第象限.解析因为/小=1(SZ),且i+i3+F=0,所以i+i2+i3+÷i2019=i+i2+i3=i-1-i=-1,1Ii所以Z=r=+i匚7夕一）=44,对应的点为在第二象限.2,B.D.为（a1a9答案解析考点三平面向量的线性运算【方法技巧】（1）向量加法的平行四边形法那么：共起点；三角形法那么：首尾相连；向量减法的三角形法那么:共起点连终点，指向被减.0为平面上任意一点，那么A,B,C三点共线的充要条件是存在S,t,使得赤=s5+f而，且s+t=1,51fR.（3）证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.9 .（2019全国I）在中,加为BC边上的中线,£为力的中点，那么应等于（）C.AB-AC答案A解析作出示意图如下图.尻孤应+昴=gxg（赤+亦+；（初一而应选A.10 .如图，在力比1中，N是'边上一点，且旃=£而，P是外上的一点，假设万三麻+,正，那么实数%的值)B.C.1D.3B,J=,力=嬴+海嬴+纨yo2又5,Nj三点共线，."+w=1,.1片亍11 .如图，在正方形/1驱中,M,W分别是8C,0的中点，假设应一4疝+施，那么4+等于（）A.2c1BqOD1答案D解析方法一如图以46,49为坐标轴建立平面直角坐标系，A设正方形边长为1,疝=1,=21),AC=4就什旃=A1+/TI万+=i4-452"二M方法二以葩，而作为基底，,4分别为8。，切的中点，1：AM=AB+BM=AB+qAD,前餐应:+扇-乃一;前，AC=4为什够-（A-S葩+（微+）茄.又7=葩+茄，T=I45因此q】y÷P=I解得，2=?O所以4+=-512 .假设a1=1,b=y,且1a2。I=巾，那么向量a与向量。夹角的大小是答案i解析由a2b=y7,得a4ab+4b2=7,314aA÷4×3=7,ab=.cos<a,加=,32-3ab-1×3-2,XV0SG储，力=专.6考点四平面向量的数量积【方法技巧】(D向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种根本方法：基向量法，坐标法.13.向量6=(1,2)»=(1,0),。=(3,4),假设4为实数，(。+4给_1_。，那么久的值为(),3C1IA.-TTB.一k八13c-2d'5答案A解析b+"=(1,0)+4(1,2)=(1+,24)，又C=4),且(b+sb-1c,所以(b+a)-C=O,即3(13+4)+24X4=3+34+84=0,解得4=-.A.-2B.-4C.D.1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图所示，那么力，8,C三点的坐标分别为71(0图设尸点的坐标为(X,y),那么尸了=(x,m一。，PB=(-1X,一。，PC=(-,一力，：.PA*(PB-PC)=(-X,3-y)(-2x,2y)=2(+y2-3y)1>2×(-)=-当且仅当X=OJ=平时，汤(丽+元)取得最小值，最小值应选B.方法二(几何法)如图所示，i¾+H2的(为8。的中点)，那么万(加方图要使万无撮小，那么苏与的方向相反，即点尸在线段/上,3),8(1,0),C(1,O).-)=2PAPD.,那么(2万曲ein=-2国II的，14.(2019全国)4%是边长为2的等边三角形，尸为平面4品内一点、,那么万6¾+介的最小值是()3问题转化为求乃I依I的最大值.又当点尸在线段/上时pa+pd-ad-2×.初向w(/卜惇卜,.tt33苏(沏+向*=(2商励=-2乂牙=一；应选B.2215.(2019全国In)向量位=1-Jbc=,3122乎=旧那么N49C等于()A.30oB.45oC.60oD.120o答案解析BA=1,BC1,/砺比3cosZABC=oBABC2又.00<N力比W180°,30°.16.在平面内，葩AC=BABC=CA涝=6,动点P,V满足善|=2,Pif=MC,那么|丽？的最大值是答案16解析由易得力比'是等边三角形且边长为23.设。是力比的中心,那么I洲=宓|=|应1=2.以0为原点，直线的为X轴建立平面直角坐标系,如下图，那么4（2,0）*（1,一乖），。（一1,5）.设P（X,力，由I崩I=2,得（-2）2+=4.,万片说，.I新=x+y+3*。4它表示圆（x-2）2+=4上的点P（XJ）与点（-1,一35）的距离的平方的（，V¾ax=2÷12÷332÷2=9+27+2=8,.,.x=-=16.1. （2019全国I）设有下面四个命题：Pi：假设复数Z满足'R,那么zR:zP2：假设复数Z满足z2£R,那么zR;P3：假设复数Zi,Z2满足ZgWR,那么Zi=Z2；卬假设复数ZWR,那么WR其中的真命题为（）A.pi,pB.p,pC.¾IPiD.pz,p答案B解析设z=a+6i（a,8WR）,z=m+力i（a,力IeR）,Z2=a2+b2i（a2,ZR）.1 1BAj对于PI,假设-R,即F7=NR,那么8=0,即Z=a+历=aR,所以P1为真命题；zci÷ba+b对于R,假设ZR,即（a+历）2=J+2a历一ZiR,那么ab=O.当a=0tb0时，z=a+6i=bi阵R,所以"为假命题；对于Ps,假设ZiZzWR,即（己+Z>i）（a+Zi）=（31&2bbz）+（打6+&ib）i£R,那么aZ+&bi=0.而ZI=z2,即4-b=Gzb>i<3=32,b=-bi.因为b>企从=。/&=a,力=友，所以R为假命题；对于"，假设ZeR,即a+biR,那么b=0=z=a一bi=aR,所以R为真命题.应选B.2 .在?!胸中，有如下命题，其中正确的选项是.（填序号）通一应x=淤初十应+淆=0；假设(加应)(AB-AC)=O,那么胸为等腰三角形；假设葩瓦0,那么微为锐角三角形.答案解析在力比中，成一位三为，错误；假设葩瓦0,那么3是钝角，是钝角三角形，错误.3 .向量a=(1,2),b=(1,D,且&与8+46的夹角为锐角，那么实数4的取值范围是.(5、答案/UeJW7解析a+b=(1+,2+),5由a(a+-b)0,可得人-O又a与&+不共线，/.0.5故久一§且0.【解题秘籍】(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共朝复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.(3)注意向量夹角的定义和范围.在448C中，诵和友的夹角为-向量a,6的夹角为锐角要和&於0区别开来(不要无视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1 .设i是虚数单位，那么复数/一二等于()1A.-iB.-3iC.iD.3i答案C9Qi解析一二=iTT=i+2i=i.应选C.110-4-912.-=b+i(a,Z?R),那么a+6等于()A.-1B.1C.-2D.2答案B解析方法一由可得a+2i=(6+i)i,即a+2i=6