概率论与数理统计课后习题答案高等教育版.docx
概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题11解答1 .将一枚均匀的硬币抛两次，事件A8,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件4B,C中的样本点O解：Q=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A=(正，正)，(正，反)；B=(正，正)，(反，反)C=(正，正)，(正，反)，(反，正)2 .在掷两颗骰子的试验中，事件A,8,C,0分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“密数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件48,4+8,无。,8。,4一8一。一。中的样本点。解：=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；A3=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)：A+8=(1,1),(1,3),(1,5),.,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC=iBC=(1,1),(2,2)；A-B-C-D=(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3 .以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用AB,C表示以下事件：(1)只订阅日报；(2)只订日报和晚报；(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8)三种报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。解：(1)ABCi(2)ABC；(3)ABC+ABC+ABC；4 4)ABC+ABC+ABC;(5)A+B+Cs(6)ABCi(7)工有D+W耳C+b3+A豆或无豆+3+有3(8) ABC；(9)A+B+C4 .甲、乙、丙三人各射击一次，事件A，%2,人分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2,A2+A3,A1A2,A+A2,A1A2A3,AA2÷A24+A&.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5 .设事件A8,C满足ABCw，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:4+8+C,AB+C,B-AC.解:如图:A+B+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;A+C=ABC+C;B-AC=ABC+ABC+ABC=BA+ABC=BC+ABC6 .若事件ARC满足A+C=6+C,试问A=3是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A=3,4,5,B=3,C=4,5,那么，A÷C=B+C,但A3<>7 .对于事件A,3,C,试问4一(3。)=043)+。是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A=3,4,5,8=4,5,6,C=6,7),那么A-(3-C)=3,但是(A-5)+C=彳3,6,7。8 .设尸(A)=；,P(B)=1,试就以下三种情况分别求尸(3彳)：(1)AB=，(2)AuB,(3)P(AB)=S8解：(1) P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-；2(2) P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=-j6-11(3) PBA)P(B-AB)=P(B)-P(AB)=289 .已知P(A)=P(B)=尸(C)=P(AC)=P(BC)=-1,P(A8)=0求事件416ARC全不发生的概率。解：P(ABC)=p(a+B+c)=1-P(A+B+C)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1-1+1+1-o-1-1÷o444161610 .每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率：A="三个都是红灯”=“全红"；B=“全绿”；C=“全黄”；O二“无红"；E=“无绿”；JF="三次颜色相同"；G二"颜色全不相同"；”="颜色不全相同”。解：P(A)=P(B)=P(C)=1×1×12×2×283×3×33×3×327P(F)=-+-+-=-;P(G)27272791QP(H)=IP(F)=I一一=-.993!3×3×3911.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件(分三种情况：一次拿3件：每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求:(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：(1)P=G=O.0588；(2)P=喝：GCI=Oo594；每次拿一件，取后放回，拿3次：2X082(1) P=z-×3=0.0576；IOO3每次拿一件，取后不放回，拿3次:983(2) P=I?=0.0588；IOO3(1) P=-9Z-X3=0.0588；100×99×98(2) P=I-98x97-96=0.0594100×99×9812 .从0,1,2,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：A1=三个数字中不含0与5,A7=三个数字中不含。或5o解：P(A)=与=乙C315vIO2P(A2)=空W=匕或P(Az)=I-与=廿“151513 .从0,1,2,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的5¾3-4_41解：P=概率。9014 .一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:r(1) P=I-0.41；126r,4×112(2) P=60.00061；12615 .从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复)，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：P=3+q强2三0.602或P=C追&Q=0.602习题12解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令4="取到的是i等品"，z=1,2,3P(A14)=P(A1A3)P(A1)0.6_2P(A3)P(A3)-O9-32.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A="两件中至少有一件不合格"，B="两件都不合格”3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统仍有效的概率为0.85,求(1)两种报警系统I和H都有效的概率：(2)系统II失灵而系统I有效的概率：(3)在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A="系统(I)有效”,B="系统(II)有效”则P(A)=().92,P(B)=0.93,P(BA)=0.85(1) P(AB)=P(B-XB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(BIA)=0.93-(1-0.92)X0.85=0.862(2) P(BA)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.92-0.862=0.058(3) P(AB)=0580.8286P(B)1-0.934.设0<P(A)v1,证明事件A与8独立的充要条件是P(BfA)=P(BIA)证：=>：.A与8独立，与B也独立。.P(BIA)=P(B),P(BIA)=P(B):.P(BIA)=P(BIA)<=：VO<P(A)<1/.O<P(A)<1又P(BIA)=里辿,P(8)=0P(A)P(A)而由题设P(BIA)=P(BA).今黑=今祟P(A)P(A)即1-P(A)P(AB)=P(A)P(B)P(AB)P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立。5 .设事件A与8相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是，求P(A)和P(B).4解：VP(AB)=P(AB)=-,又.A与3独立4.P(AB)=P(A)P(B)=1-P(A)P(B)=-4-1P(AB)=P(A)P(B)=P(A)H-P(B)=一4.P(A)=P(B)fP(A)-P2(A)=-4即P(A)=P(B)=-.26 .证明若P(A)>0,P(B)X),则有(1)当A与B独立时，A与5相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A)>0,P(B)>0(1)因为A与B独立，所以P(AB)=P(A)P(B)>0,A与8相容。(2)因为P(Ab)=O,而P(A)P(B)>0,.P(AB)P(A)P(B),A与8不独立。7 .已知事件A,8,C相互独立，求证AUB与。也独立。证明：因为A、B、C相互独立，.P(AUB)C=P(ACBO=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)P(C)=P(AUB)P(C).AU3与C独立。8 .甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么P(A)=().7,P(A2)=().8,P(A3)=0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，那么P(B)=P(A1A2Ai+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(AiA2A3)+P(A1A2A3)=0.7X0.8X0.9+0.3×0.8X0.9+0.7×0.2×0.8+0.7X0.8X0.1=0.9029 .如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0<P<1),(称为元件的可靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。12+1+2系统H二=n+1-+22n解：令A=”系统(I)正常工作"B=”系统(H)正常工作”A="第i个元件正常工作"，i=1,2,2尸(Aj)=尸,A2,相互独立。那么P(A)=p(AA2.Am)+(A向Am+2A2n)=p(A44)+H(4÷1÷2)-P(AA4)=f1P(A)+立P(A)-立P(A)x=1i=+11=1=2Pn-P2n=Pn(2-Pn)注：利用第7题的方法可以证明(4+Ai)与(A+4j)i/时独立。P(B)=PV.A1+A+1XA2+A+2)×.×(A+A2n)=P(A+A+ji=1=P(A)+P(A1Q-P(i)P(An+i)i=1=J12P-尸2=P"(2-P)”i=1IoJo张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求(1)前三人中恰有一人中奖的概率；(2)第二人中奖的概率。解：令A="第i个人中奖”，i=1,2,3
