极限与连续典型习题解答与提示.docx
第二章函数、极限与连续典型习题解答与提示习题211 .(1)不同，定义域不同；(2)不同，对应关系不同；(3)不同，定义域不同；(4)不相同，定义域和对应关系都不相同;(5)相同，定义域和对应关系都相同；(6)相同，定义域和对应关系都相同。2 .(1)(,-2)U(2,1)U(1,÷co):(2)4,4；(3)(1,1);(4)(TO)U(O,”)；(5)0,1；(6)竺,也十乃(nZ)oI22.3“0可J(I)Rj()=%止=N4(Hj(Hj(Hjq)=o5. (1)偶函数；(2)偶函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶；(5)奇函数；(6)非奇非偶。6. 设X,w(,o),X，则y(x)-y(%)=-=<0,所以y(x)在(To)内单减。7. 设,2(0,+oo),X>毛，则y(x)-y(w)=1g±-1g%=1g">O,所以y()在(0,48)内单增。8. (1)有界；(2)无界。9. (1)sin2X=(1-cos2),周期为万;周期为2；(2) sinX+cosx=sinx+sinx=2sin-cosxU)44)(2)y=3",w=sinx;(1)y=fu,u=a-x2i则g(-x)=f(%)+£(x)=/(%)+(X)=g(x),所以g()是偶函数，同理可证有关奇函数的结论；11.(1)设工。)，人CV)都是偶函数，g(%)"(x)+似力，设工(力，£(力都是奇函数,MX)=/(%)e(),由M-X)=f1(T)人(r)=1-f(切=.(x)(x)=MX),所以MX)是偶函数，同理可证有关偶函数的结论；(3)设工(x)为偶函数,人(X)为奇函数，MX)=工(X)(X)，则M-X)=/-)f2(一力=Z()-£(切=一2(力,所以&()为奇函数。12 .设小方块边长为X,则容积为V=(-2XyXA?y13 .圆锥底圆周长C等于扇形的圆弧长，即C=Ra,则底圆半径二，底圆面积2D-f-RS=-,圆锥的高力=7/一棚=一4-,41所以，圆锥体积V=-SA=一二匚鬲OVaV2)。324;TRrxr14 .设小圆锥的底圆半径为R,由相似形得一二,则R=丁，所以小圆锥容积为XhhV=-,0xo3h20<x<55x10o10<x200.515 .设X为乘坐千米数，加为票价，则"7=<11.5I/Wj-k)16 .由相似形定理得一二二,则1M=x),bhh所以P=年(一x)+2x=21-yx+2b,0<x<h,S=-(h-x)x=bxx2,0<x<h,图略。hh习题2.21. (1)1；(2)1；(3)0；(4)不存在；(5)0；(6)1。2. (1)5；(2)1；(3)-3；(4)2。3.4.9(1)-：2z、109(1)；99(3)TT+x5.4=8,q=g,q=8X（提示:a.ICa”、1-=12,1-=72)o-qa-q习题2.31. (1)0；(2)0；(3)0；(4)2；(5)0。2. (1)0；(2)1；(3)；(4)Oo23. /(0+0)=1,/(0-0)=1,1im(x)=1O4. Iim/(x)=1im(x2-1)=-1,Iim/(x)=1im(1-x)=1,所以Iir/(x)不存在。习题2-41. （1）无穷小；（2）无穷大；（3）无穷小；（4）无穷小；（5）无穷大；（6）无穷大。2. （1）无穷大；（2）无穷小；（3）无穷大；（4）无穷小；（5）无穷小；（6）无穷小。3. （1）0时，），是无穷大；xoo时，y是无穷小；（2） x-1时，y是无穷大；x8时，y是无穷小;TT（3） &乃时，y是无穷大；工一左万+万时，y是无穷小；（4） %一÷,或x（时，y是无穷大；为1时，y是无穷小;（5） x（时，y是无穷大；x（T时，y是无穷小。VV114. (1)Iim-=1,令1一=+a,a=-一,所以y=1+1(以下同此法)：f3-1x3-1x3-1X3-Iy="+2f()=-1+21+x25. （1）0,（无穷小性质2）；（3）0,（无穷小推论2）；（2）0,（无穷小性质3）；（2）0,（无穷小性质1）。I18I1- 1 + 2 + 3 + +n -1a1 + n)一hm、 1 / hm1产、，l J8 (= + 3)(n+4) is2(=+3)(n+4)2NJS2,54一2(1)2“(2)“ S I-(4)4-(5) I;323(6)(7)NIim.lr2 NIim Jl J£(77+2)(7712)x±+24- 4工 -2x +X4x 2x +1hm "Hhm i®3r+x IO3X+12X2(1+J1+X2(8)Iim j U Iim1J1J HHm1 (一 +J1+X2) H2 “XJO1J1+X2 Ic IX2 XI。1 )、，, -r12x+1 -(XII) -X11 >(9)hm - H-Im、-L/ Hhm、 / H 0 “IX1XIX(XI1)(Xt)r£x(x+1)X3 +3X* +3X52 + m31匕HmJr0(I)1；(2)2"(3)0”H(3X2 +3h +3U3X2。z1，、/、/、/、，1-cos2x,.2sin2xC1.(1)-；(2)2；(3)3；(4)1；(5)Iim=Iim=2；2"°xsinx->°xsinx(6)令arcsinX=f,X=sin"则原式=Iim=-,*°3sinP3X(X+3)(23x、(7) IimA-=Iim-+-=3；IsinxX-M)IsinxSinXJz、,.sin2xtanx,.2sin2xtanxC(8) Iim；=Iim；=2；0-ArfOOy-sinx1.sin(-x)sinr=Iim-=Iim-xIjr-x°t1sin21(10) Iimx2sin2=Iim=1；(11)Iimx+a.x-a.cossinSinx-Sintz1.?=Iim-x-ax-a2=cosa；(12),.cos(x+)-cosxIimi0hIim.(h.h-sinX+sin-I2)2/?=-snx;2一.116.1x+6sn-+sin(14) Iim-=Iimx=O。ET+2x+sinxf12S1nX1÷-r÷-XX2.(1)e2：(2)e2;=Iimxx(15) Iim(1+cosx)2secx=1irn(1+cosx)=2=e2；习题2.73,所以求证成立。4.Iim>01-cosXC2X-2X2snsin1.?r2=Iim=Iim广.r0Ux0iTT所以当x0时,Y2(1-cosx)oCt5.(1)：(2)Iim-。Zosmx1.-2-MSin(X")=hm=；(3)hmzvJX-1°X221°(sinx)=Iim-=O,(w>n);X-*0XM小1.1T7-11.3x1(4) Iim=1m-=-x0x0Q(5) 1im-!-=Iim-=2o*fKfoY1. (1)高阶；(2)同阶；(3)等价；(4)高阶。1r2. IimT=Iimv-*11-xZ233. Iim匚I=Iim土=O,所以当x0时，£+V是2工一丁的较高阶的无穷小。t02x-x-r02-x习题2-81. (1)1JX=Ijjy=17；(2)1JX=-111y=-5；(3) x=E1xy=1dZk+6(x)2+(口工丫；(4) d=-JZ1=x3-2x-+2x0o2. y=sin(x+Qx)-sinx=2cos3. /(x)在x=1处连续(提示：模仿本节例题)。4. 0一0)不存在，/(0+0)=-1=(0),所以/(x)在X=O处右连续;吗+。卜七。卜一江吗),所以/(x)在X=g处连续;/(1-0)=0=(1),/(1+0)=4(1)»所以"x)在x=1处左连续;/(2+0)=/(2-0)=5=/(2),所以/(力在x=2处连续。图略。5.所以/(x)的连续区间为(o,-3)U(-3,2)U(2,+oo),a)="。)=；，Wa)=-1X)=驷遂=一|.6 .只要/(6在4=3处连续，则/(x)在(Y。,+»)连续，设/(X)在4=3处连续，则V2-O1im(x)=1im-y=6=(3)=A,即A=6。7 .(1)0+%xT,2为第二类间断点,二1为可去间断点；(I)(I)2sin2-(2) y=，X=O是可去间断点：Jr1 r>1(3) y=<，X=I是跳跃间断点；-1x<1(4) /(0+0)=0./(0),/(00)=1=/(0),工=0是跳跃间断点；(5) /(0+0)=3(0-0)=3,而/(O)不存在，X=O是可去间断点。习题291. (1)1；(2)-9；(3)3e；(4)-(e,+1);(5) (提示：cos2x=cos2X-sin2X)；2(6) Iim=Iim，；二Iim,二；1。 RZx(>A+x+r-*01+x+12(7) 1；.Jx+425xsjx÷42Iim=Iim×sin5x°sin5x5xHm旦XHm(E一”一+2)r>°sin5x-。5x(x+4+2)20(9)1.y/ax-x.Iim=IimXTaa-xXTa(0)(>+x)Sinx(12)Iim令，=ex-IimJ。XJ。1n(1+/)=Iim=r-1n(1+r)1irn1n(1+r)7IimxO(10) Iim1n-=InIX：I(11) 1im(1+3tan2xyx*=Iim(1+3tan2)3,an3=e3；2.证明参考例8。复习题二1.d)(o4)U(1,2)(2,3)U(3,+oo);(3)-3,-23,4;(3)-1,1；(4)4+1；(5)(x>,+),(0,+),(-t0)；(6)y=nu,U=U2,=cosx(7)/(x)=A+2,其中!用二=0；41(8)(9)-1：(10)一；(11)
