导数的概念.docx
第三章微分与导数第一节导数概念第二节导数的四则运算及复合函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数第五节函数的微分第一节导数的概念、问题的引入导数的概念主要来源于两个著名的问题，一个是求变速运动的瞬时速度，另一个是求曲线的切线斜率。问题1变速直线运动的速度问题.设物体沿直线作变速运动，位移s是时间/的函数S= /，求在时刻,物体的瞬时速度V%).物体从，。至卜时间内所运动的路程为了«)-7g)平均速度U = -/(，0)，一片当1.九时，平均速度下的极限，称为物体在灰时刻的瞬时速度V.) = lim计=lim / ° tfo If。 t问题2曲线的切线斜率设平面曲线由y=/(x)给出,M(x0,f(x0)为曲线上一点，在曲线上另取一点N,作割线MN,割线斜率为：7 /(x0 +Ax)-/(x0)k =,Ax切线斜率为：k 二 lim /(%+©)-/(%)Ax如图:X二、导数定义从上述两个不同的问题的研究中，在数学上的表示形式完全一样.即研究函数的增量与自变量增量的比的极限.y= f（x0 + A%）-y（x0）如 果lim 岂 -1而于（/ + &）于（，。）存在,2o 战。Ax称函数y = /（x）在/处可导，并称此极限值为/（x）在入。处的导数.记为了（/）或y。，或察 .即 lim*"" f（Xo）= f，（x°）A%-oAx如果lim /（%+Ax）-/（/）- Ax不存在,称/（x）在X。处不可导.令 x = x0 +Ax , Ax = x - x0 ,Ax - 0 , x f %lim/(x) 一 /(X。)x - x。=f'(%)若令 /Sjc= h11m/(X。+/z)-/(/)= /,Qo),joh将x代 / lim /a + &）/（X）=/。 Ax称广为函数/（%）在任一点X处的导数，也是X的函数，也叫导函数，简称为导数./'（%）是导函数/'（X）在= %0处的导数值.如果/（X）在开区间m力）内每点都可导，称/（龙）在（力）内可导导数的几何意义是曲线y = /(x)上在点M处的切线斜率.即左二广(%) = tana其中。是切线的倾角.如果 /'(%) = 00 ,这时曲线y= /(%)在点M处的切线y=J(x)MxX。NO(X - %)0与X轴垂直.即切线为尤=%的直线.曲线y =于(x)在以(后, %)处的切线方程为y=/'(工0)(工一工0)如果 /(品)00,则 法线方程为1yy =-° r(x。)求函数导数的一般步骤根据导数的定义，要求y= /(%)的导数分三步:第一步:求出 Ay =于(x + Ax) - /(%)第二步:求 包AxAx第三步：再求 lim = lim于(X + 油 /(X)几个简单函数的导数例1.常值函数y = C（。为常数）的导数0,AyAy = C-C = 0,lim 竺=o ,Ax->0 AX例2求/（x）=V （为正整数）的导数.解 （%） =/（% + 0，（x）= lim（% + /） 吠/z>0hhfO hx+ nx'h + （”1）x-2/+ /二 lim二 nx一 i.2。 h（一）'=加上述例题中的公式对一般幕函数y =廿（为常数）,有（1，）'二网一'.证明见下一节例题。10例如（6）'=Z- X J例3求y = /(%) = sin x的导数.解 了'（X）=limf(x + /i) - /(x)=lim/ifOsin(x + /z) - sin x2 cos x H- 2 sin=lim 卜= limcos|oh九-oh.h(公 sin_(sin x)r = cosx 类似地得到(cos %)' = -sin xlog/x + /z)-logflx解 f，(x) = lim /(x + 0) /(x) _ |jmo ho-,二log/l+Q=limJ_log。-= lim 1'5 /l / X ,、3 X h=limlog 1 +L/X 1=log e -贽 hO a1xln a特别(lnx)' = L1列3 不ya u, a i）则守奴.r = lim 之hr。hf。hh-0 h由上节课例题可知二# in （a"）" = axlna特另 I（"）' = ex.例如（3、）' = 3%n3.1列。刁K /解y =,X2切线方程为才即4x + y - 4 = 0if法线方程为 >-2 = x-2% -8y + 15 =二4 .一?)r=0.由于y = /（X）在/处的导数是由极限lim于出一于Go）是否存在来定义.3。 %-%0而极限有左、右极限.于是我们可定义左、右导数.如果如果lim /-/(%)存在fx )称为左导数.Xf）% - Xolim于（）一于（）、告。+X Xq0存在 f'（X ）称为右导数.+0定理/（X）在X。处可导的o左,右导数都存在，且相等.即 叩（%0）= £（尤0）=。（%）解Hm上上/：>0h力.o ho+ h hhm=-l/. lim所以y. y 二 工oL hr。- hf(0 + /z)- f(0) . h 丁十 十L_J ')= hm不存在.hh今o h/(%) = x在x = 0处不可导.同理/(x)=sinx在x = 0处不可导.定理 设/（X）在X。处可导，则/（X）在X。处连续.由 lim /(x) /(xo)_ fx )一 ox-x0/(x)-/(x0) =f，(x )+a0x-x0其中a是x f与时的无穷小量./(x) - f(x0) = f'(Xo)(x %) + a(x X。)lim/(%)= /(x0).X-在见处连续即/（X）在X。处连续，/（X）在处不一定可导.例如/（%） = %在x = 0处连续，但不可导.1又例如了=炉在 = 0处连续，但不可导.丫4 1这是因为 lim-/（0） = lim = lim = oo.2Xf0X QXf0 JQXf° _我们口以看出，/仕七小口号的几何息乂侣网科：一种是，在点对应的曲线上M点处无切线（切线不确定）这时，该点M为曲线的尖点.另一种是，虽有切线，但切线平行于是j轴，这时切线斜率不存在，因此导数不存在，所以不可导从而，我们有结论：可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件.例8研究函数/(x)x sin_,不，。在工=0处的连续性与可导 . 1解 由于 Iim/(X) =limxsin_ = 0= /(0).一0 X所以/(X)在 = 0处连续.x sin但 lim /(X)- /=lim = limsinl 不存在.x-0XX-0 XX.0X/Ve/V所以/(x)在 = 0处不可导.a + bx . x < 0解 由7(x)在x = 0处可导必定连续，lim f(x) = lim(6z +bx)=x-0x-0n a =0.lim /(%) = lim 2sin x = 0.x0+%-0+£(0) = lim /)=lim竺=b,x-Xx>0- X=b = 2.Me、 r /(x) -/(0). 2sin %f=lim -= lim= 2.X-0+xX-。+x五、作业1、已知f (x0)存在，求下列极限:(1) lim f(x0 +2Ax)-/(x0)#Ax f0Ax lim /1+:)-/(/-1)hfUh.im /(x0-Ax)-/(x0)tAx f0 M '2、讨论函数y=sinx3、求曲线y=cosx上点C,)处的切线方程和法线方程。
