第一课时二维形式的柯西不等式测试练习题.docx
第一课时3.1二维形式的柯西不等式(一)2.练习：已知4、b、C、d为实数，求证面+6)(c2+d2)(c+bd)2提出定理1：若。、b、c、d为实数，则面+耐+/”版+即了证法一：(比较法)(/+/，(/+1。-(改+仇/了二尸侬一衣了之。证法二：(综合法)(a2+b2)(c2÷J2)=a2c2+a2d2+b2c2÷b2d2=(ac÷bd)2+(ad-be)2(ac+bd)2.(要点：展开f配方)证法三：(向量法)设向量机二(a,)，=(c,d),则ImI=Ja2+/,I=JC2+屋*.*mn=ac+bd,且tnn=mncos<m,n>,则mn帆|证法四：(8i½)S/(x)=(2+b2)x2-2(ac+bd)x+c2+,则f(x)=(ax-c)2+(Zjx-J)20恒成立.=-2(ac+M)2-4(a2+b2)(c2+J2)0,即.二维形式的柯西不等式的一些变式：ya2+b2C2+d2ac-bd或>Ja2+Z>2c2+d2+1M|或Ja+b2&?+d?nac+bd.提出定理2：设,夕是两个向量，则Sa闭.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)一讨论：上面时候等号成立？(夕是零向量，或者。,夕共线)练习：已知a、b、c、d为实数,求证/?+归+/之J(a-c)2+(b-d)2.证法：(分析法)平方一应用柯西不等式一讨论：其几何意义？(构造三角形)2 .教学三角不等式：出示定理3：设XQCH，则JX2+靖+屁2+%21(石一七)2+(乂%)2.分析其几何意义-如何利用柯西不等式证明f变式：若牛加工2，%，和%£心则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3 .小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式(两点、三点)第二课时3.1二维形式的柯西不等式(二)教学过程：(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2；x12+y12+丫；y(xi-x2)2+(y1-y2Y3.如何利用二维柯西不等式求函数y="7的最大值？要点：利用变式Ietc+bdyjd2+b2yc2+d.二、讲授新课：1 .教学最大(小)值：出示例1：求函数)，=31/7+40-2的最大值?分析：如何变形？f构造柯西不等式的形式板演f变式：y=3x-+>1()-2x->推广：y=ajhx+c+dye-fic,(a,hyc,d,e,f/?+)练习：已知3x+2y=1,求/+y?的最小值解答要点：(凑配法)X2+y2=(x2+y2)(32+22)(3x+2y)2=.2 .教学不等式的证明：出示例2：若x,y?+,x+y=2,求证：+2.分析：如何变形后利用柯西不等式？(注意对比T构造)要点：-+-=(+y)(-+-)=:(4)2+(77)2(4=)2+(；)2>Xy2Xy2yjyy讨论：其它证法(利用基本不等式)练习：已知。、beR+t求证：(+/?)(,+!)4.ab3.练习：已知x,y,bR+,且色+2=1,则x+y的最小值.要点：x+j=(-+-)(x+y)=.一其它证法Xy若x,y,zcR,且x+y+z=1,求Y+丁+z?的最小值(要点：利用三维柯西不等式)变式：若x,y,zwR.,且x+y+z=1,求4+J7+&*的最大值.第三课时3.2一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(。2+6)(/+2后(改+)2；(。2+力2+02)32+/+/2»(加+戾+炉)2二、讲授新课：1 .教学一般形式的柯西不等式：提问：由平面向量的柯西不等式p,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？猜想：维向量的坐标？维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设4,4，,an,>也£R,则(a；+a；+a：)(Z>12+Z>22+b：)(aib1÷a2b2+a11bn)2讨论：什么时候取等号？(当且仅当?=智=*时取等号，假设40)h1h2联想：设5=44+出62+4，A=+,C=2+2+WJB2-ACO,可联想到一些什么？讨论：如何构造二次函数证明维形式的柯西不等式？(注意分类)要点：令fx)=(a:+a4na；)x2+2(tzZ>+tb2*>。也)”+(力:+记)卜b；),则f(x)=(a1x+Z>1)2+(a1x+)2+(af1x+bn)20.又aj1-cit>O,从而结合二次函数的图像可知，=2(a1+a2b2+anbt-4(a12+a22+a,t2)(2+2+2)WO即有要证明的结论成立.(注意：分析什么时候等号成立.)变式：12+<¾2+zn2-(a1+a2+an)2.(讨论如何证明)n2 .教学柯西不等式的应用：出示例1：已知3x+2y+z=1,求V+V+z2的最小值分析：如何变形后构造柯西不等式？一板演一变式：练习：若,y,zR+,且J+,+1=,求工+2+三的最小值.xyz23114出示例2：若a>b>c，求证：+.a-bb-ca-c要点：3-c)(-!+r1)=(a-b)+S-c)(-i+J)(1+1)2=4a-bb-ca-bb-c提出排序不等式(即排序原理)：设有两个有序实数组：4%WWanbb1bn.e1,c2,C“是&也，也的任一排列,则有a1b1+a2b2+anbn(同序和)a1c1+a2c1+ancn(乱序和)aibn÷a2br1+anb1(反序和)当且仅当q=%=,=。"或伪=4=,时，反序和等于同序和.(要点：理解反思想，记住其形式)2.教学排序不等式的应用：出示例1：设4，生,M”是个互不相同的正整数，求证：.111a,4an1+-+-+÷-÷-÷-7+-7.23n12232n2分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设4也，也是,出,的一个排列,且4<b2<<么，则仇1,2,.又1>>*>由排序不等式，得1+-Zji+-+¾.,2232tv12232W2小结：分析目标，构造有序排列.练习：己知,力,C为正数，求证：2(a3+h3+ci')a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).解答要点：由对称性，假设0bc,则6c2,于是a2a+b2b+c2ca2c+b2a+Cb，a2a+b2b+c2ca2b+b2c+c2a,两式相加即得.
