成人教育常微分方程复习题及参考答案.docx
山东师范大学成人高等教育常微分方程课程复习题A参考答案在试卷后(7月无纸化考试)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1. 一阶线性微分方程+Mx)y=g(x)(其中(幻国(幻是连续函数)的积分因子是()dxfp(x)dxfq(x)c1x-fpxdx-q(xdx(A)=ej(B)=ej(c)=ei(D)=ej2 .用待定系数法求方程y-2y+y=e'的特解°(x),(x)应设为()(A)x=Aex(B)(x)=Axex(C)(x)=Ax2ex(D)x)=ex3 .己知y=1,必=乂%=/是某一个三阶齐次线性方程的解，则K，%，%的朗斯基行列式W(X)=()o(A)0；(B)1;(C)2;(D)3.4,下列方程中是线性方程的是().(A)=(÷1;(B)虫=sin2(C)虫U+1(D)虫=4广dxXdxxdxxxdxx二、 填空题(每小题10分,共30分)1 .二阶线性方程y+y=0的基本解组是2 .一阶微分方程y=+y-满足解的存在唯一性的区域是3 .设斤X11y1.根据解的存在唯一性定理，如下初值问题3=x+y+2,y(0)=0OX在R上所确定的解的存在区间为i三、 计算题(每小题10分，共30分)求下列方程或方程组的通解1 .ydx-xdy=02 dy_x+2y+1dx2x÷4y-1JA-力电力y÷V-X2四、判定题(每小题10分,共10分)判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性y-公-力力一力<五、 证明题(每小题10分，共10分)设/(,y)和f'y(,y)在平面(,y)内连续，0和凡是任意给定的值，I%1<。，其中>0.试证如下初值问题解的存在区间为(Yo,+8)=(y2-a2)f(x,y),C1X)(一)=%山东师范大学成人高等教育常微分方程课程复习题A答案六、 单项选择题(每小题5分，共20分)1. (A)2. (C)3. (B4. (C).七、 填空题(每小题10分,共30分)3 .cosX,sinX4 .反r1I15 .,一.44八、 计算题（每小题10分，共30分）求下列方程或方程组的通解1 .ydx-xdy=0解外工0时，方程两边同除孙，得dXdyA八-=05分两边积分，得通解为y=Cx9分冲=0时，=0,y=0也是方程的解。10分2 dy_x+2y÷1dx2x+4y-解令"=x+2y,则方程变为du4w+1_八=OTTdxIu-1解之，得4-31nI4m+11=8x+C及4«+1=0从而方程的解为4x+8y-31n4x+8y+1=Sx+C及4x+8y+1=010分=x+y二2y从第2个方程得y=Cie2t5分代入第一个方程，得dx-2tx+C.edt,解之，得X=Ce1'+C2e,故方程通解为X=Ce21+C2e,y=CF10分九、判定题（每小题10分，共10分）心一力6y一力判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性=y=-2x-3y答案：稳定结点十、证明题(每小题10分,共10分)设/(尤,y)和f(,y)在平面(,y)内连续，/和凡是任意给定的值，1%，其中。0.试证如下初值问题解的存在区间为(-00,+oo)=(y2-a2)f(x,yaxy()=y0证明显见方程有常数解y=±°3分因为*,y)和r(,y)在平面(X,y)内连续，所以方程满足解的存在唯一性定理的条件，故方程过(%,%)的解存在且唯一。4分由于IyOI。，所以方程过点(Xo,%)的解向左右延展时不能与解y=±相交，又要延展到无穷远，所以解的存在区间为(-8,+8)03分山东师范大学成人高等教育常微分方程课程复习题B十一、单项选择题(每小题5分，共20分)1. 一阶线性微分方程虫+y=g(x)(其中式X)是连续函数)的积分因子是()dx.-Xq(x)dx-q()dx(A)N=e(B)=ej(o=e(D)=ei2 .用待定系数法求方程y-2yy="的特解0(x),(x)应设为()(A)(x)=Aex(B)(x)=Axex(C)x)=Ax1ex(D)(x)=ex3 .已知y=1,%=X,%=/是某一个三阶齐次线性方程的解，则乂，%，%的朗斯基行列式1V(x)=()。(A) 0；(B) 1;(C)2;(D)3.4 .下列方程中是既是线性方程同时又是齐次方程的是().(A)虫=(与+1；(B)虫=Sin1(C)=2+1;(D)=2.dxXdxxdxxxdxx十二、填空题(每小题10分,共30分)5 .二阶线性方程y+4y+3y=0的基本解组是6 .一阶微分方程y=打满足解的存在唯一性的区域是3.设R:IXI2,y2.根据解的存在唯一性定理，如下初值问题孚=+y+1,y(0)=0ax在R上所确定的解的存在区间为I十三、计算题(每小题10分，共30分)求下列方程或方程组的通解1. ydx+xdy-02. y"+6y'+5y="X3. 试求方程组靠=43)'的基解矩阵卜四、判定题(每小题10分,共10分)公一小电力<-判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性=x+y=-2x-3y十五、证明题(每小题10分,共10分)设*,y)和ty(,y)在平面(X,y)内连续，/和凡是任意给定的值，IyoI<4.试证如下初值问题解的存在区间为(-8,+8)孚=(丁-I6)f(x,y),C1XX)=y0山东师范大学成人高等教育常微分方程课程复习题B答案十六、单项选择题(每小题5分，共20分)1. (C)2. (B)3. (B)。4. (D).十七、填空题(每小题10分,共30分)7. e-*318. (x,y):y>0,x><XV+oo十八、计算题(每小题10分，共30分)求下列方程或方程组的通解1. ydx+xdy-0解冲0时，方程两边同除孙，得dxdyf.1八+=05分Xy两边积分，得通解为町，=C9分孙=0时，=0,y=0也是方程的解。10分2. ',+6y,+5y=ex解：齐线性方程j"+6y,+5=0的特征方程为22+6÷5=0,1=-1,2=-5,故通解为y(x)=C/-'+Qe"(3分)(5分)X=-1是特征根，所以方程有解形如y(x)=Axex把y（t）代回原方程4Ae-x=e-x于是原方程通解为y(x)=c1ex+c2e5r+-xex4(IO分)由此得特征值4=-1,2=5（4分）由(A+E)U=0,或42244对应于4二-1的特征向量q=由(5E-A)U=(4-2、%+u%+(1、<1>=0=0得（6分）（8分）（10分）对应于A2=5的特征向量=（；）4=-1,2=5对应的两个线形无关的特征向量为匕:.(x)=xv1e5rv2=十九、判定题（每小题10分,共10分）判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性=x+y=-2x-3y答案：稳定结点二十、证明题（每小题10分，共10分）设*,y)和r>(,y)在平面(,y)内连续，/和凡是任意给定的值，IyOI<4.试证如下初值问题解的存在区间为(TO,+8)?-16)F(X,y),<C1X)(%)=%证明显见方程有常数解y=±4。3分因为/(X,y)和f,y(x,y)在平面(x,y)内连续，所以方程满足解的存在唯一性定理的条件，故方程过(%,%)的解存在且唯一。4分由于IyOI<。，所以方程过点(%,%)的解向左右延展时不能与解y=±4相交，又要延展到无穷远，所以解的存在区间为(-8,+8)。3分常微分方程复习题二十一、计算题(每小题10分，共30分)求下列方程或方程组的通解dyx1 +y=edx解由一阶线性非齐次方程的求解公式，得yCex+-ex10分22 .xdy-ydx=0(答案：化为恰当方程或一阶线性方程)解V0时，方程两边同除孙，得虫一包=OXy两边积分，得通解为y=Cx解从第2个方程，得y2=Ce代入第I个方程，得=y1+C,eax解之，得二十二、判定题（每小题10分,共10分）1判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性=3x+y=-2x+3y答案：稳定结点2.判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性答案：不稳定焦点
